ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»
О. И. Ведина, Е. Л. Рабкин
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
ПРАКТИКУМ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2016
УДК 512.6(075.8) ББК 22.143я73
В26
Рецензент доктор физико-математических наук, профессор (СПбГУ)
С. В. Чистяков
Рекомендован к печати редакционно-издательским советом СПбГУТ
Ведина, О. И.
В26 Линейная алгебра для экономистов : практикум / О. И. Ведина, Е. Л. Рабкин ; СПбГУТ. – СПб., 2016. – 100 с.
Содержит методические указания, примеры решения типовых задач и контрольных работ по линейной алгебре.
Предназначен для студентов, обучающихся по направлениям 38.04.05, 38.03.05 «Бизнес информатика».
УДК 512.6(077) ББК 22.143я73
©Ведина О. И., Рабкин Е. Л., 2016
©Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича», 2016
2
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................... |
4 |
|
1. |
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ....................................................................... |
5 |
|
1.1. Матрицы. Виды числовых матриц ............................................................... |
5 |
|
1.2. Операции над матрицами ............................................................................. |
6 |
|
1.3 Определители и их вычисление..................................................................... |
9 |
|
1.4. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы и |
|
|
ее определителя. Теорема разложения ........................................................ |
13 |
|
1.5. Обратная матрица .......................................................................................... |
16 |
|
1.6. Ранг матрицы и способы его вычисления .................................................. |
19 |
2. |
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ......................................................................... |
24 |
3. |
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) ...... |
28 |
|
3.1. Основные определения.................................................................................. |
28 |
|
3.2. Матричный способ решения СЛАУ............................................................. |
31 |
|
3.3. Решение СЛАУ по формулам Крамера ....................................................... |
32 |
|
3.4. Основные теоремы об общем решении СЛАУ ........................................... |
33 |
|
3.5. Метод Жордана – Гаусса решения стандартной СЛАУ ............................ |
34 |
|
3.6. Метод Жордана – Гаусса решения СЛАУ. Общий случай........................ |
38 |
4. |
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ..................................................................................... |
44 |
|
4.1. Линейные операции над векторами ............................................................ |
44 |
|
4.2. Скалярное произведение векторов .............................................................. |
47 |
|
4.3. Векторное произведение векторов ............................................................... |
49 |
|
4.4. Смешанное произведение векторов ............................................................. |
50 |
5. |
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ........................................... |
52 |
|
5.1. Метод координат............................................................................................ |
52 |
|
5.2. Прямая на плоскости ..................................................................................... |
53 |
|
5.3. Плоскость........................................................................................................ |
59 |
|
5.4. Прямая в пространстве .................................................................................. |
64 |
6. |
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА .................................................................................. |
71 |
7. |
АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ .............................................................................. |
77 |
8. |
МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ЛЕОНТЬЕВА............................ |
81 |
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ......................................................................... |
85 |
|
Список литературы .................................................................................................. |
100 |
|
3
ВВЕДЕНИЕ
Практикум «Линейная алгебра для экономистов» содержит варианты контрольных работ и многочисленные примеры с решениями, нацеленные на получение студентами необходимых практических навыков решения задач из курса линейной алгебры, аналитической геометрии и теории комплексных чисел. Прежде чем приступать к их изучению, необходимо внимательно ознакомиться с соответствующим теоретическим материалом, изложенным в двух частях учебно-методического пособия [1, 2].
Номер варианта контрольной работы, которую должен выполнить студент, определяется делением номера зачетной книжки на двадцать и равен остатку, получаемому при делении. Например, для зачетной книжки № 2032 номер варианта контрольной работы равен 12.
Работа разбита на главы и параграфы. Нумерация формул – своя в каждой главе.
4
1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1.1. Матрицы. Виды числовых матриц
Определение 1. Числовой матрицей А размерности т × п называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из т строк и п столбцов, размерность записывается в виде индекса справа от матрицы.
Например, матрица |
A2 2 |
2 |
1 |
имеет размерность 2 × 2, а матрица |
||
|
4 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
0 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
B |
|
4 |
5 |
3 |
0 |
|
размерность 3 × 4. Числа, заполняющие матрицу, на- |
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
зываются ее элементами. Элемент матрицы А, стоящий на пересечении i -й |
|||
строки и |
j -го столбца, обозначается ai,j. Например, в матрице |
2 |
1 |
A |
|
||
|
|
4 |
0 |
|
0 |
2 |
1 |
0 |
|
||
элемент a 4 , в матрице |
B |
4 |
5 |
3 |
0 |
|
элемент b 4 . Главной |
2,1 |
|
|
|
|
|
|
2,1 |
|
|
1 |
4 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
диагональю матрицы A называется совокупность ее элементов вида ai,i. Определение 2. Матрица, у которой число строк равно числу столб-
цов, называется квадратной.
|
2 |
1 |
|
|
0 |
2 |
1 |
0 |
|
|
||
Например, |
– квадратная матрица, а |
|
4 |
5 |
3 |
0 |
|
– |
||||
A |
4 |
0 |
|
B |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
не квадратная матрица.
Определение 3. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.
|
2 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
||
Например, матрицы |
, |
0 |
4 |
0 |
являются диагональными, а |
|||||
|
0 |
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
2 |
3 |
|
|
0 |
0 |
4 |
|
|
||
матрицы |
, |
|
0 |
4 |
0 |
|
не являются диагональными (главная диагональ |
||||
|
0 |
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
обозначена штриховой линией).
Определение 4. Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице. Единичная матрица обозначается Е или I.
Определение 5. Матрица размерности 1×n называется строкой длины п, а матрица размерности m×1 называется столбцом высоты т. Например:
0
C1 4 1 2 3 4 – матрица-строка длины четыре, D3 1 0 – матрица-
0
столбец высоты три.
5
1.2. Операции над матрицами
Определение 6. Матрицей, транспонированной по отношению к матрице A, называется матрица, обозначаемая AT и полученная из A заменой ее строк на столбцы с сохранением их порядка, а также с сохранением порядка элементов в строках и столбцах (или, что то же самое, симметричным отражением матрицы относительно главной диагонали).
Пример 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
1 |
|
T |
|
0 |
4 |
1 |
|
|
||
|
2 |
1 |
T |
2 |
4 |
|
|
|
0 |
|
2 5 |
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
|
|
|
|
|
; |
|
б) |
4 5 3 |
0 |
|
1 3 |
|
; |
|||||||
|
4 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) 1 |
2 3 4 T |
; |
г) |
|
0 |
|
0 0 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 7. Если матрицы A и B имеют одинаковые размерности, то их суммой называется новая матрица той же самой размерности, полученная сложением соответствующих элементов матриц A и B.
Пример 2. Вычисление суммы двух матриц:
|
|
2 |
4 |
2 |
1 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
|
1 |
0 |
|
4 |
0 |
|
|
5 |
|
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
2 |
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
3 |
2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
4 5 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
4 |
1 |
|
|
4 6 |
7 |
1 |
|
; |
|||||
|
|
1 |
|
4 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
5 |
0 |
|
|
2 |
4 |
7 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
0 |
2 |
1 |
0 |
|
|
||
в) матрицы |
A2 2 |
и |
B3 4 |
|
4 |
|
|
|
|
сложить нельзя, так |
||||
|
4 |
0 |
|
|
5 |
3 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
как у них разные размерности.
Вычитание матриц определяется как действие, обратное сложению. Пример 3. Вычисление разности двух матриц:
|
2 |
4 |
2 |
1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
0 |
|
|
4 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
2 |
1 |
|
|
0 |
|
0 |
3 |
2 |
0 |
0 |
5 |
3 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
4 5 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
4 |
1 |
|
|
4 |
4 |
1 |
1 |
; |
|||
|
1 |
|
4 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
0 |
5 |
0 |
|
|
0 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
0 |
2 |
1 |
0 |
|
|
||
в) разность матриц |
и |
|
4 |
5 |
3 |
0 |
|
найти нельзя, так как |
||||
|
4 |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
2 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
у них разные размерности.
6
Определение 8. Произведением матрицы A на число называется но-
вая матрица B той же размерности, что и A, полученная умножением каждого элемента матрицы A на число . Заметим, что на число можно умножать матрицу любой размерности.
Пример 4. Умножение матрицы на число:
|
2 |
1 |
|
6 |
3 |
|
|
||
а) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
4 |
0 |
|
12 |
0 |
|
|
|
0 |
2 1 |
0 |
0 |
4 |
2 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 2 |
4 5 |
3 |
0 |
|
|
8 |
10 |
6 |
0 |
. |
|
|
1 |
4 |
2 |
0 |
|
|
2 |
8 |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
Произведение AB двух матриц A и B определено только тогда, когда размерности сомножителей согласованы.
Определение 9. Матрицы A и B в произведении AB имеют согласованные размерности (рис. 1), если число столбцов первого сомножителя A равно числу строк второго сомножителя B (при проверке согласованности размерностей двух матриц-сомножителей следует учитывать их порядок в произведении).
|
|
Am n |
|
Bn p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Число столбцов первого сомножителя |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число строк второго сомножителя |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 5. Даны матрицы |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
и |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
. Проверить, |
|||
|
A |
4 |
|
0 |
|
|
B |
3 |
1 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
2 3 |
|
|
|||||||
определены ли произведения AB и BA. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) В произведении |
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
размерности сомножи- |
|||||
|
AB |
4 |
0 |
|
|
|
3 |
|
1 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
2 2 |
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
телей согласованы, следовательно, произведение AB определено. |
|||||||||||||||||||
|
б) В произведении |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
размерности сомножите- |
||||||||
|
BA |
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
|
2 3 |
4 |
0 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
лей не согласованы, следовательно, произведение BA не определено. |
|||||||||||||||||||
|
Определение 10. |
Произведением двух матриц A и B согласованных |
|||||||||||||||||
размерностей m n и n p называется новая матрица Cm p Am n Bn p |
размер- |
|
ности m p , у которой каждый элемент ci, j вычисляется по формуле |
|
|
ci, j ai,1 b1, j ai,2 b2, j |
ai,n bn, j . |
(1) |
Формулу (1) называют «правилом перемножения i-й строки на j-й столбец». Заметим, что строку длины n всегда можно умножить на столбец высоты n, при этом произведение будет иметь размерность 1 1.
7
Пример 6. Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец:
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
а) 1 2 |
3 |
|
5 |
|
1 6 2 5 3 4 |
28 |
; |
||
|
1 3 |
|
|
|
|
|
1 1 |
1 1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 1 0 |
1 |
2 |
|
1 |
1 2 0 ( 1) |
( 1) 0 2 3 1 1 8 1 1 . |
|||
|
1 3 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
||
Пример 7. Найти произведение матриц C |
4 |
0 |
|
|
2 |
0 |
3 |
. |
|
2 2 |
|
2 3 |
|||||
Решение. Отмечаем, что размерности данных матриц согласованы, и определяем размерность произведения
С2 3 |
2 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
с1,1 |
с1,2 |
с1,3 |
|
|||
|
4 |
0 |
|
|
2 |
0 |
3 |
|
|
с2,1 |
с2,2 |
с2,3 |
. |
|
|
|
2 2 |
|
2 3 |
|
2 3 |
||||||||
Затем определяем значение всех элементов ci,j по правилу умножения строки на столбец. Например, при нахождении c1,1 умножаем первую строку первого сомножителя на первый столбец второго сомножителя, при нахождении c1,2 умножаем первую строку первой матрицы на второй столбец второй матрицы и т. д.
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
с1,1 |
2 1 |
2 0 1 2 |
2 |
, |
с1,2 |
2 1 |
|
2 |
1 1 0 |
2 , |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
с1,3 |
2 0 1 |
3 3 , |
|
|
с2,1 4 0 0 2 0 , |
|
|
||||
с2,2 |
4 1 0 0 4 , |
|
|
с2,3 |
4 0 0 3 0 . |
|
|
||||
Окончательно имеем С2 3 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
4 |
0 2 3 |
|
|
|
|
|
Пример 8. Найти произведение матриц С |
2 |
1 |
2 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 2 2 |
4 |
0 2 2 |
Решение. Отмечаем, что данные матрицы имеют согласованные размерности, и определяем размерность произведения
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
с1,1 |
с1,2 |
|
|||
С |
4 |
0 |
|
|
4 |
0 |
|
|
с2,1 |
с2,2 |
. |
|
2 2 |
|
2 2 |
|
2 2 |
||||||
После этого определяем значение всех элементов ci,j по правилу умножения строки на столбец.
с1,1 2 2 1 4 8 , |
|
с1,2 |
2 1 1 0 2 , |
|
с2,1 4 2 0 4 8, |
|
с2,2 |
4 1 0 0 4 . |
|
|
8 |
2 |
|
|
Окончательно имеем С |
8 |
4 |
. |
|
|
2 2 |
|
||
8