в) находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A : A1,1 1, A1,2 2, A2,1 1, A2,2 1 , после чего записываем обратную ма-

Проверка. Подставляя найденные x1 4, x2 7 в СЛАУ, получаем вер-

ные равенства, значит, решение верно.

Ответ: x1 4, x2 7 .

3.3. Решение СЛАУ по формулам Крамера

Теорема (формулы Крамера). Если число уравнений СЛАУ т равно числу неизвестных п и определитель системы не равен нулю A 0, то

СЛАУ имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера

заменой столбца с номером i на столбец свободных членов b.

Решение. а) находим определитель СЛАУ

б) находим определители 1, 2 , 3 , поочередно заменяя в первый,

0

второй и третий столбцы на столбец свободных членов b 30

в) по формулам Крамера получаем

32

лучаем верные равенства, значит, решение верно.

3.4. Основные теоремы об общем решении СЛАУ

Определение 13. СЛАУ называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю bi 0, i 0, т. Если хотя бы один из свободных членов bi отличен от нуля, то СЛАУ называется неоднородной.

Определение 14. Однородная СЛАУ вида

полученная из неоднородной СЛАУ (1) заменой всех ее свободных членов нулями, называется соответствующей СЛАУ (1).

Замечание 1. Известно [1], что любая однородная СЛАУ всегда имеет тривиальное решение xi 0, i 0, n . При n r (n – число неизвестных, а r r( A) – ранг матрицы СЛАУ) это тривиальное решение является единственным, и значит, общее решение однородной СЛАУ имеет вид Xодн. 0 .

Определение 15. Пусть n > r. Любая система из n – r линейно независимых решений однородной СЛАУ называется фундаментальной системой ее решений.

Известно [1], что при n > r у однородной СЛАУ существует фундаментальная система решений.

Теорема (общее решение однородной СЛАУ). Пусть n – число неиз-

вестных однородной СЛАУ, r r( A) – ранг матрицы СЛАУ и при этом n > r,

где С1, ,Сn r – произвольные постоянные.

Теорема (общее решение неоднородной СЛАУ). Пусть – ранги мат-

рицы и расширенной матрицы СЛАУ (1) равны друг другу r r( A) r( Aр ) 5).

5) В этом случае СЛАУ совместна.

33

Пусть далее xчастн. – какое-либо частное решение СЛАУ (1), а Xодн. – общее решение соответствующей однородной СЛАУ (4). Тогда общее решение СЛАУ (1) задает формула

3.5. Метод Жордана – Гаусса решения стандартной СЛАУ

Определение 16. Расширенная матрица СЛАУ называется стандартной, если максимальное число различных единичных6) столбцов в ее основной части равно числу строк матрицы m (напомним, столбец свободных членов b не входит в основную часть расширенной матрицы Ap ). Система

линейных уравнений, расширенная матрица которой имеет стандартный вид, называется стандартной.

Замечание 1. Нетрудно показать, что: стандартная СЛАУ всегда совместна,

ранги матрицы и расширенной матрицы стандартной СЛАУ равны друг другу и равны числу уравнений m,

если n m, то стандартная СЛАУ имеет единственное решение, Определение 17. Среди столбцов основной части расширенной матри-

цы стандартной СЛАУ всегда существуют m различных единичных столбцов (m – число уравнений), эти столбцы, равно как и соответствующие им неизвестные, называются базисными. Прочие неизвестные называются сво-

бодными.

Пример 6. Расширенная матрица СЛАУ x1 2x2 x4 x5 1 имеет вид

x2 x3 x4 x5 2

Число уравнений равно двум и число различных единичных столбцов в основной части матрицы Ар (первый и третий столбцы) также равно двум, следовательно, данная СЛАУ является стандартной, при этом первый и третий столбцы, а также соответствующие им неизвестные х1 и х3, являются базисными. Остальные неизвестные х2, х4 и х5 являются свободными.

В СЛАУ стандартного вида и в соответствующей ей однородной СЛАУ все свободные неизвестные перенесем в правые части уравнений и полученные системы обозначим через (*) и (**). Покажем, как это делается в примере 7.

6) Столбец матрицы называется единичным, если какой-либо один его элемент равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Единичные столбцы одинаковой длины отличаются друг от друга лишь расположением того элемента, который равен единице.

34

вестные x2 , x4 и x5 в правые части уравнений. Полученные СЛАУ обозначаются здесь и в дальнейшем через (*) и (**) соответственно:

Системы (*) и (**) представляют собой формулы выражения базисных неизвестных через свободные для неоднородной и однородной СЛАУ.

Правило нахождения частного решения хчастн. стандартной СЛАУ:

все свободные неизвестные в (*) приравниваем к нулю и получаем значения базисных неизвестных.

Пример 8. Для нахождения частного решения стандартной СЛАУ

ные приравниваем к нулю x2 0 , x4 0 , x5 0 , в результате получаем x1 1,

x1 1x2 0

x3 2 . Окончательно имеем xчастн. x3 2 .

x4 0x5 0

Правило нахождения фундаментальной системы решений Х(1), …,

Х(k) однородной стандартной СЛАУ:

число k решений, составляющих фундаментальную систему решений X 1 , , X k однородной СЛАУ (**), равно числу свободных неизвестных;

для нахождения решения Х(i) фундаментальной системы следует приравнять i -ю свободную неизвестную к единице, а все остальные свободные неизвестные – к нулю, и, подставив эти значения в однородную СЛАУ (**), найти значения базисных неизвестных.

Правило нахождения общего решения Ходн. соответствующей однородной СЛАУ (**):

если все неизвестные СЛАУ (**) являются базисными, то

35

где С1, ,Ck – произвольные постоянные.

Пример 9. Для нахождения общего решения соответствующей одно-

что число свободных неизвестных равно трем, следовательно, фундаментальная система решений однородной СЛАУ (**) состоит из трех решений

36

Пример 10. В примерах 8, 9 были найдены частное решение СЛАУ

x1 2x2 x4 x5 1 и общее решение соответствующей однородной СЛАУ.

x2 x3 x4 x5 2

По формуле (6) общее решение исходной СЛАУ имеет вид:

является стандартной, так как число различных единичных столбцов (первый, второй и третий столбцы) равно числу строк матрицы m 3. Неизвестные x1 , x2 , x3 , соответствующие этим столбцам, являются базисными, ос-

тавшаяся неизвестная x4 , является свободной.

2) Перенесем все свободные неизвестные исходной СЛАУ в правые части уравнений и получим

Заменив в исходной СЛАУ все свободные члены нулями и перенеся все свободные неизвестные в правые части уравнений, получим соответствующую (*) однородную СЛАУ

37

4) У рассматриваемой СЛАУ всего одна свободная неизвестная, значит, фундаментальная система решений однородной СЛАУ (**) состоит

3.6. Метод Жордана – Гаусса решения СЛАУ. Общий случай

Определение 17. Преобразования, не изменяющие множество решений СЛАУ, называются допустимыми. Так как между уравнениями СЛАУ и строками ее расширенной матрицы существует взаимно-однозначное соответствие, то допустимым преобразованиям уравнений СЛАУ соответствуют допустимые преобразования над строками расширенной матрицы Ap .

Определение 18. Две СЛАУ с одними и теми же неизвестными называются эквивалентными, если их множества решений совпадают.

Допустимые преобразования над строками расширенной матрицы (уравнениями) СЛАУ

Перестановка строк (перестановка уравнений).

Умножение строки на число, не равное нулю (умножение уравнения на число, не равное нулю).

Прибавление строки, умноженной на число, к другой строке (прибавление одного уравнения, умноженного на число, к другому уравнению).

Удаление нулевой строки (удаление тривиального уравнения). Очевидно, что посредством допустимых преобразований исходная

СЛАУ приводится к другой СЛАУ, которая всегда эквивалентна исходной.

c 0 , то СЛАУ несовместна, так как данной строке соответствует уравне-

38

значениях неизвестных не обратится в верное равенство.

С помощью допустимых преобразований всегда можно:либо показать, что исходная СЛАУ несовместна;

либо привести исходную СЛАУ к стандартному виду, после чего найти ее общее решение.

Пример 12. Решить методом Гаусса СЛАУ x1 2x2 3x3 x4 1 .

x1 x2 x3 x4 3

Решение. 1) Приведение СЛАУ к стандартному виду. С помощью до-

пустимых преобразований приводим расширенную матрицу СЛАУ к стандартному виду:

Полученной стандартной расширенной матрице соответствует СЛАУ

стандартного вида, эквивалентная исходной СЛАУ. Неизвестные x2 , x4 , – базисные (второй и четвертый столбцы), неизвестные x1 , x3 – свободные.

2) Запись стандартных СЛАУ (*) и (**). В полученной СЛАУ и соот-

ветствующей ей однородной СЛАУ переносим все свободные неизвестные в правые части уравнений.

3) Нахождение частного решения исходной СЛАУ. Пусть в (*) x1 0 ,

4) Нахождение фундаментальной системы решений соответствую-

щей однородной СЛАУ. Число свободных неизвестных равно двум, следовательно, фундаментальная система решений однородной СЛАУ (**) со-

стоит из двух решений X 1 , X 2 .

39

5) По формуле (8) общее решение соответствующей однородной СЛАУ

6) По формуле (6) общее решение неоднородной СЛАУ

40

Полученной стандартной расширенной матрице соответствует СЛАУ

x1 0, 25

x2 1,5.

x3 1, 25

Неизвестные – базисные; свободных неизвестных в данном

случае нет. По признаку определенности найденное решение является единственным.