3.1. Основные определения

a1,1x1 a1,2 x2

a1,n xn

b1

(1)

,

a

x a

x

a

x b

m,1 1

m,2 2

m,n n

m

где x1,

x2 , , xn – неизвестные, ai, j

– числовые коэффициенты при неизвест-

ных, bi

– свободные члены, п – число неизвестных, т – число уравнений.

a

a

Определение 2. Матрица A

1,1

1,n

, составленная из коэффи-

a

m,1

a

m,n

a

a

|

b

1,1

1,n

1

Aр

|

,

am,n |

am,1

bm

основная часть

b

расширенной

матрицы

b

полученная добавлением к матрице А столбца свободных членов

1

,

b

bm

x

X 1

значений неизвестных, при подстановке которых все уравнения

xn

СЛАУ обращаются в верные равенства.

Пример 1. а) Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

x 2x

x 1

состоит из двух ( m 2 ) уравнений с тремя ( n 3) неизвест-

1

2

3

x1 x2 x3 3

ными x1, x2 , x3 .

Матрица СЛАУ, составленная из коэффициентов при неиз-

1

2

1

1

вестных имеет вид A

1

, столбец свободных членов равен

b

,

1

1

3

1

2

1

|

1

следовательно, расширенная матрица СЛАУ такова Aр

1

.

1

1

|

3

б) При

подстановке следующих наборов значений неизвестных

x

0

x

1

ˆ

1

ˆ

1

4

,

2

все уравнения СЛАУ данного примера обращают-

X x2

X xˆ2

x 7

xˆ

4

3

3

ˆ

ся в верные равенства, следовательно, и X и X являются решениями

x1

1

СЛАУ. При подстановке X

x

2

первое уравнение СЛАУ обращается

2

x

0

3

в неверное равенство, следовательно,

X не является решениями СЛАУ, не-

она называется несовместной.

Теорема Кронекера – Капелли.

СЛАУ совместна тогда и только то-

гда, когда r A r Ap , т. е.,

когда ранг ее матрицы равен рангу расширен-

ной матрицы.

Пример 2. а) Как показано в примере 1, СЛАУ

x

2x

x

1

имеет

1

2

3

x

0

x

1

x1 x2 x3 3

ˆ

1

ˆ

1

4

,

2

частные решения X x2

X xˆ2

, следовательно, эта СЛАУ со-

x 7

xˆ

4

3

3

вместна.

1

2

1

1

2

1

|

1

A

1

,

Aр

1

1

1

1

1

|

3

существует минор второго порядка

1

2

3 , не равный нулю,

и минор

1 1

третьего порядка невозможно составить.

Это значит, что r A r Ap 2 .

Но тогда по теореме Кронекера – Капелли СЛАУ совместна.

x 2x x 1

1

2 1

1

2

3

. Ранг матрицы СЛАУ

1

1

в) Рассмотрим СЛАУ x1 x2

x3

3

A

1

2x x 0

2 1

0

1

2

1

2

1

1

1

1

0 равен нулю (по правилу Сарюса) и одновременно существует

2

1

0

минор матрицы A второго порядка

1

2

3 , не равный нулю. Ранг рас-

1

1

1

2

1

|

1

ширенной матрицы A

1

1

1

|

3

равен трем, так как существует

р

2

1

0

|

0

1

1

2

минор третьего порядка

1

1

3

4 , не равный нулю, а минор четвертого

1

0

0

порядка невозможно составить.

Итак,

r A 2, r Ap 3, т. е. r A r Ap ,

x

2x

x

1

1

2

3

Пример 3. а) Рассмотрим СЛАУ

x1 x2 x3

3 . У матрицы и расши-

2x x 0

1

2

1 2

1

1 2

1

|

1

A

1

1

1

,

A

1

1

1

| 3

р

2

1

0

2

1

0 |

0

2

1

1

существует минор третьего порядка

1

1

1

4 , не равный нулю, а ми-

2

1

0

нор четвертого порядка составить

невозможно. Отсюда следует, что

r A r Ap 3, т. е. СЛАУ совместна.

Поскольку к тому же число неиз-

б) Рассмотрим СЛАУ

x

2x

x 1

. У матрицы и расширенной мат-

1

2

3

x1 x2 x3 3

рицы данной СЛАУ

1

2 1

1

2 1 |

1

A

1

,

Aр

1 1 |

,

1

1

1

3

2

3 ,

есть минор второго порядка

1

не равный нулю, а минор третьего

1

1

порядка для обеих

матриц

составить

невозможно.

Это

означает, что

X A 1b ,

(2)

Пример 4. Найти решение СЛАУ

x1 x2

3

матричным способом.

2x1 x2

1

Решение. а) Записываем матрицу СЛАУ

1

1

A

и столбец сво-

2

1

3

бодных членов b

;

1

б) вычисляем определитель СЛАУ

A

1

1

1 0 ;

2

1