Добавил:

CanyonE СПбГУТ * ИКСС * Программная инженерия Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Ведина О. И., Рабкин Е. Л. Линейная алгебра для экономистов. Практикум.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2020

Размер:

1.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Определение 1. Комплексным числом в алгебраической форме называ-

ется выражение вида z a bi , где a , b – вещественные числа, i 1 . Комплексное число изображается на комплексной плоскости точкой z a,b

или радиус – вектором Oz этой точки.

Пример 1. Следующие

комплексные числа z1 2 i ,

z2 2 3i ,

z3 1 2i ,

z4 i ,

z5 2i , z6

1 изображены точками и векторами на ком-

плексной плоскости (рис. 1 и 2).

Рис. 1

Рис. 2

Сложение, вычитание, умножение и возведение в степень с натуральным показателем комплексныx чисел в алгебраической форме выполняются

по правилам этих действий					над многочленами, но с учетом того, что
		i2 1, i3 i, i4 1,			i5 i, .
i 1,
	Пример 2. Найти сумму, разность и произведение двух комплексных
чисел z		2 i , z	2	2 3i , а также z 2 .
1					1
	Решение.
		z1 z2 2 i 2 3i 4i ,				z1 z2 2 i 2 3i 4 2i ,

z1 z2 2 i 2 3i 2 2 2 3i i 2 i 3i4 6i 2i 3i2 4 4i 3 1 7 4i,

z12 2 i 2 22 2 2 i i2 4 4i 1 3 4i.

Частное двух комплексных чисел в алгебраической форме вычисляется с помощью нехитрого приема: умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное ее знаменателю. Напомним, что числом, сопряженным z a bi называется число z a bi . Например, для z 2 3i сопряженным числом будет z 2 3i .

Пример 3. Найти

2 3i

3 2i

4 i

1 2i

Решение.

2 3i 4 i

2 3i

8 2i 12i 3i2

11 10i

11 10

4 i 4 i

i ,

4 i

16 i2

2i 1 5i

2i 10i2

2i 10

5 5

i ,

1 5i

1 5i 1 5i

1 25i2

3 2i

3 2i 1 2i

3 6i 2i 4i2

7 4i

7 4

i .

1 2i

1 2i 1 2i

1 4i2

Определение 2. Модулем комплексного числа z a bi называется чис-

ло

a2 b2 .

z1 2 i ,

Пример 4. Найти модули комплексных чисел:

z2 1 3i .

2 2 12

Решение.

5 .

4 2 .

Определение 3. Аргументом комплексного числа

z называется угол

Arg z

между вектором Oz , изображающим данное комплексное число, и

положительным направлением

вещественной

оси Ox . Очевидно, что аргумент определяется

неоднозначно с точностью до 2 k , из всех его

значений

главным называется значение из

промежутка ( , ].

Главное значение аргу-

мента (рис. 3) обозначается 0

arg z и опре-

Рис. 3

деляется по формуле

если a 0;

arctg

a 0

arctg

если

;

b 0

a 0

arctg

если

;

b 0

если

a 0

;

b 0

a 0

если b 0.

Пример 5. Найти главное значение аргумента комплексных чисел

z1 1 3i, z2 2 5i , z3 2 5i .

Решение.

arctg

5 arctg

arctg

Пример 6. Найти любое значение аргумента следующих комплексных

чисел z1 1 i , z2

1 i , z3

1 i ,

1 i .

Решение. В данном случае значение аргумента можно найти из геометрических соображений, изобразив комплексные числа на комплексной плоскости

(рис. 4).

Arg z1 4 , Arg z2 34 , Arg z3 4 , Arg z4 34 .

z2		3 4		z1
		3 4
				4
		3	4	4
z		3	4	z3
z	4			z3
	4

Определение 4.	Тригонометрической формой	Рис. 4
комплексного числа	называется его представление

в виде z r cos i sin , где r

–

любое значение аргумента ком-

плексного числа z .

Пример 7. Написать комплексные числа а) z1 1 , б) z2 i , в) z3 3 i ,

г) z4 1 i в тригонометрической форме.

Решение. а) r1

1, 1 0 z1

cos 1 i sin 1 z1 cos 0 i sin 0 .

б) r 2		z2	1 , 2

				2
				2
в) r 3	z3		2 , 3

				6
				6

z2 r 2 cos 2 i sin 2

z3 r3 cos 3 i sin 3 z3

z2
z2	cos
		2

2 cos

isin


		.
		2

		.
		6

			3				3		3

г) r 4	z4	2 , 4		z4	2	cos		i sin		.

			4				4		4

Правило умножения, деления и возведения в степень комплексныx чисел в тригонометрической форме.

а) При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются

z	z	2	r			r	cos					i sin			2	.	(1)
1		2	1		2			1			2	1			2
б) При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы
вычитаются
	z1			r1		cos						i sin		.			(2)
						cos				2		i sin	2	.			(2)
	z2			r2				1		2		1	2
	z2			r2
в) При возведении комплексного числа в натуральную степень п его
модуль возводится в степень п, а аргумент умножается на п
					zn rn cos(n ) i sin(n ) .												(3)
Пример 8. Найти	произведение								и		частное двух					комплексных	чисел

z1 cos 2 i sin

Решение.

	,	z2	2
2				cos
					4

По формуле (1)

		в тригонометрической форме.
i sin		в тригонометрической форме.
	4

									3		3
z1 z2	2	cos		4	i sin	4	2	cos		i sin		.

			2		2				4		4

По формуле (2)

z	1
1		cos
		cos
z2	2		2	4

		1
i sin			cos		i sin	.
	4	2
2				4		4

Пример 9. Найти произведение и частное двух комплексных чисел

		2		2
z1	cos		i sin		,	z2	cos
z1	cos	3	i sin	3	,	z2	cos
		3		3				4

		в тригонометрической форме.
i sin		в тригонометрической форме.
	4

Решение. По формуле (1) (рис. 5)

																			2												2							11										11
							z1 z2					cos														i sin									cos								i sin											.
							z1 z2					cos														i sin									cos								i sin											.
																			3 4												3 4							12										12
		По формуле (2) (рис. 6)
									z									2												2							5										5
										1		cos													i sin									cos						i sin												.
												cos													i sin									cos						i sin												.
									z2									3 4												3 4							12										12
																																																	z1
											z1																												z1										z2
											z1																z2												z1																z2
																											z2																												z2
		z1 z2				1 2											1																										1													1 2
		z1 z2															1							2																			1								2					1 2
																								2																											2
														Рис. 5																											Рис. 6
		Пример 10. Найти																						квадрат,							куб				и	четвертую														степень							числа

z		2		i	2			.
z	2			i	2			.
	2				2

																																																								2			2
																																																						2		2		2	2
				z2																		Решение. Вычислим модуль r																						z
	z3			z2																		Решение. Вычислим модуль r																						z									2					2
	z3									z																																											2					2
																																	2			2
z4												1				и аргумент arctg																											числа z, после чего за-
z4												1				и аргумент arctg																	2			2				4			числа z, после чего за-
																																	2			2				4
																пишем									данное						число				в	тригонометрической																					форме
																z cos
																z cos										i sin						. С учетом того, что r 1 по форму-
																								4						4
			Рис. 7													ле (3) получаем (рис. 7)
																ле (3) получаем (рис. 7)
																2
					2								2			2						2
										i										1			cos				2		i sin				2			cos						i sin										i,
										i										1			cos				2		i sin				2			cos						i sin										i,
					2								2															4						4						2						2
																					3
												2						2			3				3																		2							2
													i										1			cos			3			i sin 3													i								,
													i										1			cos			3			i sin 3													i								,
												2			2																4					4							2							2

			4
2		2		4
	i			1	cos	4		i sin	4		1.

2		2					4			4

Как показывает последний пример, в случае, когда модуль комплексного числа z равен единице, графические изображения всех степеней zn этого числа легко получить путем поворота вектора, изображающего z, на угол nφ, где arg z .

Замечание 1. Рисунки 5, 6, 7 графически иллюстрируют операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в том случае, когда модули этих чисел равны единице.

Правило извлечения корня из комплексного числа. Существует ровно n различных корней натуральной степени n из любого ненулевого комплексного числа z r cos i sin , и все они задаются формулой

2 k

i sin

k 0, n 1.

wk n z n r cos

(4)

Все корни n-й степени из данного комплексного числа z располагаются на комплексной плоскости в вершинах правильного многоугольника ( n - угольника) с центром в начале координат с радиусом описанной окружно-

сти, равным n z (рис. 8).

Пример 11. Найти все значения корня кубического из комплексного

числа z 1.
Решение. Так													как						r		z			1	и arg z 0, то										в	тригонометрической
Решение. Так													как						r		z			1	и arg z 0, то										в	тригонометрической
форме z cos0 i sin 0 . Тогда по формуле (4)
																									0 2 k							0 2 k
																									0 2 k							0 2 k
												wk 3 z 3 1 cos																	i sin						,	k 0, 2 .
												wk 3 z 3 1 cos													3				i sin			3			,	k 0, 2 .
																									3							3
При k 0 w				3								cos					0 2 0							i sin				0 2 0			cos0 i sin 0 1 ;
											1						0 2 0											0 2 0
											1
			0															3							3
																		3							3
																0 2 1											0 2 1						2			2
при k 1 w			3							cos													i sin							cos				i sin			1	i	3	;
								1																													1		3
								1
1																		3							3							3				3	2		2
																		3							3							3				3	2		2
при k 1 w			3						cos						0 2 1							i sin				0 2 1
							1								0 2 1											0 2 1
							1
1																		3							3
																		3							3
	2				2
cos	2	i sin			2								1	i				3		.
cos		i sin												i						.
3				3									2					2
3				3									2					2																		3 z , k 1
Из рис. 8 видим, что все три найденных корня
находятся			в			вершинах													правильного треугольника
с центром в начале координат, при этом радиус опи-																																							3
с центром в начале координат, при этом радиус опи-																																							3		z , k 0
санной около треугольника окружности равен кор-																																									z , k 0
санной около треугольника окружности равен кор-
ню третей степени из модуля исходного комплекс-

ного числа 3 1 1.																																				3 z , k 2

Рис. 8	75

Пример 12. Решить уравнение z4 2 2i .

2 2i

4 4 8 и

Решение. Очевидно,

что

z 4

2 2i . Так как

arg 2 2i arctg

, то в тригонометрической форме

2 2i

8 cos

i sin

Тогда по формуле (4)

																												2 k																		2 k
			zk 4 2 2i 8										8 cos														4	4							i sin									4		4			,							k 0,3 ,
																												4																		4
откуда получаем:																						2 0																				2 0
																						2 0																				2 0
при k 0		z0		4 z				8 8 cos											4				4							i sin											4		4					8			8 cos							16				i sin									;
																							4				2 1																4															16			7						16
																											2 1																		2 1																7									7
при k 1		z1 4				2 2i					8 8 cos													4									i sin											4								8 8 cos													i sin								;
при k 1		z1 4				2 2i					8 8 cos																4						i sin													4						8 8 cos									16				i sin								;
																											4																			4															16									16
при																	k															2 2															=		15											15									2
											2 2																					2 2																	15											15
z2 4 2 2i 8 8 cos									4												i sin										4										8					8 cos							i sin											;
z2 4 2 2i 8 8 cos											4										i sin												4								8					8 cos			16				i sin							16				;
											4														2 3								4																16											16								23
																									2 3																			2 3															23									23
при k = 3 z3 4					2 2i			8			8 cos												4									i sin										4						8			8 cos												i sin									.
																							4																			4
																										4																		4																16
																										4																		4																16								16
															Из рис. 9 видно, что все 4 найденных корня урав-
			z1						нения находятся в вершинах квадрата с центром в на-
			z1						чале координат, при этом радиус описанной около
									чале координат, при этом радиус описанной около
z2									квадрата окружности равен корню четвертой степени
									из модуля исходного комплексного числа 4

							z0																																																			8 8 8 .
																																																										8 8 8 .
															Определение 5.																										Показательной																	формой											ком-
															Определение 5.																										Показательной																	формой											ком-
									плексного числа называется его запись в виде
	z3																																										z rei					,																					(5)
	Рис. 9								где r											z			, φ – любое значение аргумента числа z .
	Рис. 9

Пример 13. Написать комплексное число z 2 2i																																												в показательной форме.
																																																						z							4				i
Решение. Так как											z								8 ,													, то по формуле (5)																													4				i	.
Решение. Так как											z								8 ,											4		, то по формуле (5)																												8e						.
																														4						4 i
Пример 14. Вычислить																											i 2				e					4 i
Пример 14. Вычислить																									3		i 2				e					5		.
																												arg									i																							i
Решение. Так как													3 i								2 ,							arg						3			i									, то			3 i 2e 6 . Но тогда
																																												6
									2					4 i													i		2						4 i									i				4 i								17 i
				3 i					2		e																		2		e							4 e 3 e																				.
				3 i							e	5							4 e 6												e				5			4 e 3 e										5			4e				15			.


В тригонометрической форме это число имеет вид
																2							4 i																17											17

										3 i								e					5				4 cos																	i sin													.

																																								15
																																								15											15

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Линейная алгебра