N2

2, 2, 2 , N3 1, 2, 3 не параллельны, так как 2

2

2 ;

1

2

3

N2

2, 2, 2 || N4 1, 1, 1 , так как 2

2

2 ;

1

1

1

д)

N3 1, 2, 3 и N4 1, 1, 1 не перпендикулярны, так как

N3 N4 1 1 2 1 3 1 4 0 ;

N3

1, 2, 3 , N4 1,1,1 не параллельны, так как

1

2

3 .

1

1

1

Окончательно имеем: плоскости 4x 2y 1 0 ,

x 2y 3z 1 0 вза-

имно перпендикулярны, а плоскости 2x 2y 2z 1 0

и x y z 0

параллельны друг другу.

A1x B1 y C1z D1

0

.

(18)

A2 x B2 y C2 z D2

0

x x0

y y0

z z0

15)

.

(19)

m

n

r

x x0 mt

nt .

y y0

(20)

rt

z z0

4) Уравнение прямой,

проходящей

через

две точки

M 0 x0 , y0 , z0 ,

M1 x1 , y1 , z1 в пространстве

x x0

y y0

z z0

.

(21)

x

x

0

y

y

0

z z

0

1

1

1

1.

Две прямые с направляющими векторами

p1 m1,n1 ,r1 ,

p2 m2 ,n2 ,r2 па-

m1

n1

r1

раллельны друг другу, если

.

m2

n2

r2

p1 m1,n1 ,r1 ,

p2 m2 ,n2 ,r2

2.

Две прямые с направляющими векторами

взаимно перпендикулярны, если m1m2 n1n2

r1r2

0 .

3.

Косинус угла

между

прямыми

с

направляющими

векторами

p1 m1,n1 ,r1 , p2 m2 ,n2 ,r2 равен

pp pp

2

mmmm nnnn r r r

1

1

2

1

1

2

2

1

12

2

1

12

2

coscos pp

pp

n

n

2.

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

1 1

2 2

mm

nn

r r

mm

2

nn

2

r r

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

sin

p N

mA nB rC

.

p

N

m

2

n

2

r

2

A

2

B

2

C

2

x x0

y y0

z z0

, то вектор p(m, n, r), координаты которого совпа-

m

n

r

Пример 21. Составить

уравнение прямой, проходящей через точку

М1(1, 1, 2), параллельно вектору p 3,4, 1 .

Решение. Составляем каноническое уравнение прямой (19)

x x0

y y0

z z0

x 1

y 1

z 2

1 .

m

n

r

3

4

x x0

y y0

z z0

x 1

y 1

z 2

x 1

y 1

z 2

.

x x

y y

z z

1 1

2 1

3 2

0

0

1

1

1

0

1

0

1

4x 2 y 1 0

.

2 y

2z 1 0

2x

Определяем нормали обеих плоскостей N1 4,2,0 ,

N 2 2, 2, 2 .

Находим

направляющий вектор прямой

i

j

k

p m,n,r N1 4,2,0 N 2 2, 2, 2

4

2

0

2

2

2

0

4

0

4

2

k 4 i 8 j 4 k 4,8, 4 .

2

i

j

2 2

2

2

2

2

Определяем точку M 0 x0 , y0 , z0 на прямой,

находя любое частное решение

задающей ее системы

4x 2 y 1 0

. Пусть к примеру x0 0 , тогда

2x 2 y

2z

1 0

y0 0,5 , и следовательно,

z0 1. Зная точку М0(0; –0,5; 1) на прямой и на-

правляющий вектор p 4,8, 4 записываем каноническое уравнение прямой

x

y 0,5

z 1

.

4

8

4

Пример 24. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

M 0 1,1,2

перпендикулярно плоскости

4x 2y 1 0 .

Решение. Нормаль N = (4, 2, 0) плоскости 4x 2y 1 0 является на-

правляющим

вектором

перпендикулярной

этой

плоскости

прямой

p N 4,2,0

(рис. 16).

Кроме

того,

известна точка

M0

N

М0(1, 1, 2) на прямой, следовательно,

можно составить

каноническое уравнение этой прямой

Рис. 16

x x0

y y0

z z0

x 1

y 1

z 2

.

т

п

z

4

2

0

1

18

17

Очевидно, расстояние между точками М (1, 1, 2),

M

,

,

равно рас-

0

1 26

13

26

2

2

2

M0 , M1

1

18

17

1950

1

1

2

.

13

26

26

26

Пример 27. Даны канонические уравнения двух скрещивающихся пря-

x 1 y 1 z 2

x 2

y 4 z

17)

мых

,

.

Найти расстояние между ними.

2

1

1

1

1

1

M1

Решение. Из уравнений прямых следует, что

N

точка М1(1, 1, 2)

лежит на первой прямой, точка

М2(2,4,0) лежит на второй прямой, вектор p1 2,1, 1

p1

является направляющим вектором первой прямой,

p2

а вектор

p2

1,1, 1

– направляющим вектором вто-

рой

прямой.

Проведем

плоскость через вторую

M2

прямую параллельно первой прямой (рис. 18). Нор-

маль этой плоскости можно найти как векторное

Рис. 18

произведение

i

j

k

1

1

2

1

2 1

k j k 0,1,1

N p p

2

1 1

i

j

.

1

2

1

1

1

1

1 1

1

1

1

d

Ax0 By0 Cz0 D

1 2 4

5

A2 B2 C2

02 12 1 2

2 .

Пример 28. Даны координаты вершин тетраэдра ABCD

D

A 1,0,0 , B 0, 1,0 ,

C 0,2,1 , D 1,0,2 (рис. 19). Найти вектор

DF , совпадающий с высотой этого тетраэдра, опущенной

из вершины D, и его длину

DF

.

A

F

B

Решение. Зная координаты вершин

A 1,0,0 , B 0, 1,0 ,

C 0,2,1 , составим уравнение основания как уравнение плос-

C

Рис. 19

кости, проходящей через три точки

N ABC 1,1, 3 .

Проведем высоту

DF.

Известна точка D 1,0,2 и направ-

ляющий вектор

pDF N ABC 1,1, 3

прямой DF. Составляем канониче-

x 1

y 0

z 2

ское уравнение этой прямой

. Находим точку F пересе-

1

1

3

5

6

4

1,0,2

6

6

18

6

6

18

DF F D

,

,

,

,

i

j

k .