2.2. Числовые характеристики случайной величины

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение ( СКО ) .

Математическое ожидание определяется как сумма произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения принимаются.

Для ДСВ: ; для НСВ: .

Свойства математического ожидания

1). , здесь С – постоянная.

2). .

3). . В частности, .

4). Для независимых случайных величин .

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения: .

Для ДСВ: ; для НСВ:

Свойства дисперсии

1) 2). 3).

4). Для независимых случайных величин .

В частности,

5).

Последнее из приведенных свойств наиболее удобно для вычисления дисперсии.

Средним квадратическим ( или стандартным ) отклонением называется квадратный корень из ее дисперсии:

Свойства СКО

1). 2). . 3).

Примеры решения задач

Задача №10. Дискретная случайная величина X представлена таблицей:

	0	1	2	3
	0,1	0,2	0,5	0,2

а) Убедиться, что задан закон распределения величины X.

Построить многоугольник распределения.

б) Определить функцию распределения F(x) и построить ее график.

в) Вычислить вероятности .

г) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Решение. а) Т.к. = 0,1+0,2+0,5+0,2 = 1, то таблица задает закон распределения. Согласно данным условиям построим многоугольник распределения.

x_i

p_i

б) Возможные значения данной случайной величины разбивают числовую прямую на пять интервалов.

Т.к. на интервале данная случайная величина не имеет ни одного возможного значения, то при получаем

Для имеем

Для 1< имеем

Для 2< имеем 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.

Если , то на интервале содержатся все возможные значения величины X, и достоверно, что она примет одно из них, т.е.

Объединяя сказанное, зададим аналитическое выражение F(x).

Построим график

в) Вычислим указанные вероятности:

или = 0,5 + 0,2 = 0,7.

= 0,5 – 0,1 = 0,4.

г) Найдем числовые характеристики величины X.

= = 1,8.

= = 4.

4 - = 0,76. 0,87.

Ответ: в) 0,7; 0,4; г) 1,8; 0,76; 0,87.

Задача №11. Случайная величина X задана функцией распределения

а) Найти плотность распределения вероятностей f(x).

б) Вычислить математическое ожидание , дисперсию и СКО .

в) Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, принадлежащее отрезку

г) Построить графики функций и

Решение. а) Плотность распределения вероятностей найдем по определению: Получим:

б) Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание равно .

В нашем случае получим:

Аналогично предыдущему получим:

Среднее квадратическое отклонение вычислим по определению

в) Вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение, принадлежащее отрезку , вычислим как приращение функции распределения

на данном отрезке:

г) Построим графики функций и