1.9. Алгоритм решения задачи на схему бернулли

1. Определить по условию задачи испытание и интересующий нас элементарный исход.

2. Убедиться в реализации схемы Бернулли. Для этого установить: а) число n независимых испытаний; б) возможность исходов в каждом испытании; в) вероятности интересующего нас и противоположного ему исходов в каждом испытании.

3. Определить вероятность, которую требуется вычислить в задаче.

4. Выбрать подходящую формулу для подсчета вероятности.

5. Произвести расчет.

6. Записать ответ.

Пример решения задачи.

Задача №9. Какова вероятность того, что из 2 450 ламп, освещающих улицу, к концу года будут гореть от 1 500 до 1 600 ламп, если каждая лампа горит в течение года с вероятностью p = 0,64?

Решение. Испытание: освещение улицы с помощью лампы.

Событие А – лампа горит в течение года. Схема Бернулли реализуется. Действительно, испытания независимы, n = 2 450; в каждом испытании возможны только два элементарных исхода или вероятности этих исходов неизменны в каждом испытании

Требуется вычислить

Т.к. число n велико, вычислим npq: npq = 2 450 = 564,48. Т.к. npq > 10, для вычисления искомой вероятности выбираем интегральную формулу Муавра-Лапласа.

0,4115 + 0,4979 = 0,9094.

Ответ: 0,909.

Глава 2. Случайные величины

2.1. Основные понятия

Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает то или иное значение, причем заранее неизвестно какое именно.

Случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами X,Y,Z, …, а их возможные значения соответственно малыми .

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений, т.е. такое множество, элементы которого можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется величина, которая может принимать все возможные значения из некоторого интервала ( конечного или бесконечного ).

Две случайные величины называются равными, если множества их возможных значений совпадают и все соответствующие возможные значения принимаются с одинаковыми вероятностями.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения случайной величины ( или просто: распределением)

Закон распределения может быть задан в виде таблицы (только для ДСВ), графически или с помощью функции.

Например,

X			…
			…

Для распределения ДСВ имеет место равенство:

где

Многоугольником ( или полигоном ) распределения называется ломаная, последовательно соединяющая точки .

Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), которая каждому действительному значению x ставит в соответствие вероятность события X < x,

т.е.

F(x) = Р(X<x).

Функция распределения выражает вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее x. С геометрической точки зрения функция рас

пределения случайной величины принимает в точке x значение, равное вероятности, с которой эта случайная

величина попадет на интервал где x – его правая граница.

Множеством значений функции распределения является отрезок . Функция F(x) не убывает; для ДСВ она в каждой точке непрерывна слева, а для НСВ – непрерывна на всей числовой прямой.

Имеют место следующие равенства:

F( X< ) =

Значения функции распределения для ДСВ можно вычислить по формуле: .

Плотностью распределения НСВ называется производная ее функции распределения:

f(x) = .

Функцию f(x) называют дифференциальным законом распределения НСВ.

Функцию F(x) называют интегральным законом распределения НСВ.

Плотность распределения неотрицательна f(x) 0;

В частности, для непрерывной случайной величины имеем = 0.

График функции называется кривой распределения.