1.7. Схема испытаний бернулли

Если проводится серия испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти только одно из двух событий: событие А с вероятностью P(A) = p или противоположное ему событие с вероятностью P( ) =q, где q = 1- p, называется схемой Бернулли.

В случае реализации схемы Бернулли вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), вычисляется по формуле Бернулли:

,

где m = 0,1,2,…,n.

При тех же условиях вероятность того, что событие А наступит от до раз находится по формуле:

.

Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:

а) менее m раз – равна

б) более m раз – равна

в) не менее m раз - равна

г) не более m раз - равна

Если в сумме содержится большое число слагаемых, то удобнее вычислить искомую вероятность через противоположное событие, что приводит к формуле:

,

где первая сумма отсутствует при , вторая – при

В частности, вероятность того, что событие А в рассматриваемых условиях наступит

хотя бы один раз – равна

Пример решения задачи.

Задача №6. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает пять счетов. Если 3% счетов содержат ошибки, то какова вероятность того, что аудитор найдет с ошибкой:

а) только один счет;

б) от двух до трех счетов;

в) хотя бы один счет.

Решение. Испытание: проверка счета аудитором.

Событие А – счет содержит ошибку.

Испытания независимы, n=5;

в каждом испытании возможны только два элементарных исхода: или ;

оба исхода в каждом испытании наступают с неизменной вероятностью:

Значит, схема Бернулли реализуется.

Для подсчета вероятностей воспользуемся формулой Бернулли.

а)

б)

в)

Ответ: а) 0,133; б) 0,009; в) 0,141.

Число (0 n) называется наивероятнейшим числом наступления события А в схеме Бернулли, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое число раз: для всех m = 0,1,…,n.

Наивероятнейшее число определяется из двойного неравенства:

и условия принадлежности к целым числам. Если число является целым, то имеется два наивероятнейших числа и

Пример решения задачи.

Задача №7. Вероятность невыхода каждого из двенадцати имеющихся в автопарке автобусов равна 0,2. Найти наивероятнейшее число автобусов, вышедших в ближайший день на линию, и вероятность этого события.

Решение. Испытание: обеспечение линии автобусами.

Событие А – автобус вышел на линию.

Испытания независимы, n=12;

в каждом испытании возможны только два элементарных исхода: или ;

оба исхода в каждом испытании наступают с неизменной вероятностью:

Значит, схема Бернулли реализуется.

Для подсчета воспользуемся неравенством : , т.е. Т.к. то = 10.

Ответ: 10; 0,284.