1.4. Алгебра событий

Суммой A+B двух событий A и B называется третье событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из них, т.е. A или B, или обоих вместе. Пишут: С = А+В.

Произведением АВ двух событий А и В называется третье событие С, состоящее в совместном наступлении обоих событий. Пишут: С = АВ.

Сумма и произведение событий обладают переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).

В частности, для несовместных событий имеем: P(A+B) = P(A) + P(B).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) или Р(АВ) = Р(В) Р(А/В).

В частности, для независимых событий имеем: Р(АВ) = Р(А) Р(В).

Для большего числа событий в общем случае теоремы и соответствующие формулы более сложны.

Формулы Моргана: ; .

1.5. Алгоритм решения задачи на алгебру событий

1. Определить по условию задачи испытание и элементарные исходы с заданными или легко вычисляемыми вероятностями. Указать эти вероятности.

2. Составить алгебру искомого сложного события.

3. Проанализировать составляющие сложного события на совместность и зависимость.

4. Определить соответствующую формулу для искомой вероятности.

5. Произвести вычисления.

6. Записать ответ.

Заметим, что в случае суммы совместных или произведения зависимых событий проще вычислить вероятность противоположного события, алгебру которого легко написать, воспользовавшись соответствующей формулой Моргана.

Пример решения задачи.

Задача №3. Рабочий обслуживает три станка-автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,75. Найти вероятность того, что за смену потребует внимания:

а) только третий станок;

б) только один станок;

в) хотя бы один станок.

Решение. Испытание: обслуживание трех работающих станков автоматов в течение смены.

Элементарные исходы: - потребует внимания i-й станок; i=1,2,3.

По условию имеем: Значит,

а) Сложное событие А – потребует внимания только третий станок –

имеет следующую алгебру:

По условию события - независимы, поэтому независимы и события

Тогда по теореме умножения для независимых событий получим:

т.е.

б) Сложное событие А – только один станок потребует внимания –

имеет следующую алгебру:

Первое слагаемое представляет собой событие, несовместное ни с одним из событий, записанным в виде второго или третьего слагаемых, т.к. первый станок не может одновременно требовать и не требовать внимания. Аналогично доказывается несовместность второго и третьего слагаемых. Независимость множителей в каждом слагаемом доказана выше.

Применяя теорему сложения для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, получим:

Подставим значения соответствующих вероятностей и произведем вычисления:

в) Сложное событие А – хотя бы один станок потребует внимания –

имеет алгебру: Т.к. слагаемые являются совместными событиями, то возьмем противоположное событие - ни один станок не потребует внимания.

Алгебру события можно написать, воспользовавшись формулой Моргана:

В произведении все множители независимы, поэтому

и

Подставим значения вероятностей и произведем расчет:

Ответ: а) 0,015; б) 0,08; в) 0,995.