3.4. Статистическая проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется всякое предположение о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H_0.

Альтернативной ( конкурирующей) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой гипотезе.

Статистическим критерием называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением К_набл называется значение критерия, которое вычислено по выборке.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых основную гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых основную гипотезу принимают.

Критическими точками называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то основную гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нет оснований для отклонения основной гипотезы.

Вероятность ошибки, состоящей в том, что отвергается верная гипотеза, называется уровнем значимости критерия. Обозначается . Стандартные значения : 0,05; 0,01; 0,005; 0,001.

Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения.

Критерий согласия Пирсона .

Его можно преобразовать к более удобному для вычислений виду: ,

где - теоретическая вероятность попадания случайной величины X

в i-й интервал, а -теоретические частоты, т.е. теоретическое число вариант, попадающих в этот интервал.

Число степеней свободы – это число независимых наблюдений, равное числу наблюдаемых интервалов минус число оцениваемых статистических параметров и минус единица.

3.5. Алгоритм проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

1) Если данные не сгруппированы, то следует повергнуть их группировке и представить в виде частичных интервалов с соответствующими им частотами . Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом интервале не менее пяти значений вариантов, т.е. Если в отдельных интервалах их окажется меньше, то число интервалов следует уменьшить путем объединения соседних интервалов.

2) Вычислить среднее выборочное и исправленное стандартное отклонение и принять их в качестве точечных оценок и нормального распределения .

3) Перейти к нормированным интервалам , где . При этом, т.к. случайная величина X определена на интервале , то в статистическом ряде крайние интервалы следует заменить: на и на .

4) Вычислить теоретические вероятности: . Значения округлить таким образом, чтобы выполнялось условие:

5) Вычислить теоретические частоты .

6) Вычислить

7) Найти число степеней свободы: ,где m – число интервалов. По заданному уровню значимости и найденному числу степеней свободы по таблице критических точек найти значение .

8) Сделать соответствующий вывод:

если , то основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной – распределение не имеет нормального закона распределения;

если , то нет оснований отклонить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

9) Записать ответ.