Пример решения задачи

Задача №13. Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

29. 67 34 39 23 66 24 37 45 58 51 37 45 26 41 55 27 18 22 43

73 48 63 37 19 31 48 68 22 45 31 58 35 72 28 35 44 40 41 34

15 31 34 56 45 27 54 46 62 29 51 47 49 56 43 35 23 28 45 48

47 41 34 47 30 54 49 44 53 61 78 45 26 35 67 73 30 16 52 35

46 40 41 56 37 51 33 11 70 63 72 35 62 28 38 61 43 49 59 45

Составить интервальный статистический ряд. Построить гистограмму относительных частот.

Решение. Подсчитаем число наблюдений: n = 100. Найдем наибольшее и наименьшее значения наблюдаемых вариантов: Рассчитаем длину интервалов по формуле Стэрджеса:

Затем подсчитаем количество чисел данного массива, попавших в i-й интервал. Помимо частот подсчитаем также относительные частоты и их плотности . В результате получим интервальный статистический ряд и данные для построения гистограммы.

Интервалы	Частоты	Относительные частоты	Плотности отн. частот
	100	1	0.01

Для построения гистограммы относительных частот на каждом интервале как на основании строим прямоугольник с высотой соответственно.

10

20

30

40

50

60

70

80

x

x

Основными числовыми характеристиками статистического ряда являются: выборочное среднее значение (средняя) ; выборочная дисперсия выборочное среднее квадратическое отклонение ; исправленная выборочная дисперсия и исправленное выборочное стандартное отклонение . Очевидно,

Заметим, что средняя и дисперсия обладают соответственно свойствами математического ожидания и дисперсии случайных величин. В частности, выборочная дисперсия может быть подсчитана по формуле:

3.3. Статистические оценки параметров распределения

Статистической оценкой параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от выборочных данных.

Точечная оценка характеристики генеральной совокупности – это число, определяемое по выборке.

Числа и являются точечными оценками параметров для теоретического нормального распределения.

Недостаток точечных оценок в том, что неизвестно, с какой точностью они дают значение оцениваемого параметра.

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами – концами интервала, накрывающего неизвестный параметр.

Интервальной оценкой неизвестного параметра является доверительный интервал

Доверительным называется интервал, вычисленный по выборочным данным и накрывающий с заданной вероятностью неизвестное истинное значение оцениваемого параметра распределения. Концы доверительного интервала называют доверительными границами.

Доверительная вероятность ( надежность ) – это вероятность того, что доверительный интервал накроет неизвестное истинное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Для неизвестного математического ожидания нормально распределенного количественного признака X доверительным является интервал , где - средняя выборочная; - точность оценки; - коэффициент Стьюдента, который находится по таблице в приложении 3; S – исправленное среднее квадратическое отклонение; n – объем выборки.

Пример решения задачи

Задача №14. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий была проведена случайная выборка десяти платежных документов, по которым срок перечисления денег оказался равным: 23 27 27 31 29 30 32 28 26 31 ( дней ).

С помощью доверительного интервала оценить с надежностью ожидаемый срок перечисления и получения денег кредиторами ( математическое ожидание ), считая

генеральную совокупность нормально распределенной.

Решение. По приведенным данным составим статистический ряд:

	23	26	27	28	29	30	31	32
	1	1	2	1	1	1	2	1	10

Найдем доверительный интервал , где

Для упрощения расчетов введем условные варианты: . Тогда , .

Т.к. , то и .

	-6	-3	-2	-1	0	1	2	3
	1	1	2	1	1	1	2	1	10

Проведем необходимые вычисления.

По таблице ( Приложение 3 ) найдем коэффициент Стьюдента Тогда Определим доверительные границы:

Получим доверительный интервал:

Запишем ответ, учитывая что по условию задачи случайная величина X ( срок ) измеряется в днях.

Ответ: с надежностью 95% ожидаемый срок перечисления и получения денег от 27 до 30 дней.