2.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Нормальным называют распределение непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

где a= - математическое ожидание, = - среднее квадратическое отклонение величины X.

Вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее интервалу , составляет:

где - функция Лапласа.

Вероятность того, модуль отклонения случайной величины меньше положительного числа , выражается равенством:

Пример решения задачи.

Задача № 12. Заданы математическое ожидание а = 16 и среднее квадратическое отклонение = 2,5 случайной величины X, распределенной по нормальному закону.

Найти:

1. вероятность того, что величина X примет значение, принадлежащее интервалу (10;20);

2. отклонение величины X от ее математического ожидания а, которое имеет место с вероятностью 95%.

Решение. 1) Воспользуемся свойствами нормального распределения, функции Лапласа и таблицей значений функции Лапласа ( Приложение 2). Согласно условию задачи получаем:

0,4452+0,4918 = 0,9370.

2. По свойству нормального распределения и условию задачи имеем:

0,95. Отсюда 0,475. Значит,

Найдем в таблице = 0,4750. Слева от него записано значение

Значит, и = 1,96 2,5 = 4,9.

Ответ: 1) 0,937; 2) 4,9.

Раздел 2. Элементы математической статистики

Глава 3. Выборочный метод и статистическое оценивание

3.1. Предмет и основные задачи математической

Статистики

Математическая статистика – это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Совокупность всех подлежащих изучению объектов называется генеральной совокупностью, а число объектов в совокупности называется ее объемом.

Выборкой называют совокупность объектов, случайным образом отобранных из генеральной совокупности.

Метод статистического исследования, состоящий в том, что на основании изучения выборочной совокупности делается заключение о всей генеральной совокупности, называется выборочным методом.

Математическая статистика решает три основных типа задач:

1. сбор, упорядочение, обработка статистических данных, представление их в наиболее обозримом виде, удобном для анализа;

2. оценка, хотя бы приближенно, интересующих нас характеристик случайной величины;

3. проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса согласования результатов оценивания с опытными данными.

3.2. Статистический ряд

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого количественного признака X, являющегося случайной величиной.

Значения случайной величины X называют ее вариантами. Числа , показывающие сколько раз в выборке встречаются варианты , называются их частотами.

Ясно, что , где n- объем выборки. Отношения называются относительными частотами. .

Соответствие между вариантами выборки и их частотами ( или относительными частотами ) называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом. В случаях, когда число вариант велико или признак является непрерывным ( время, рост, путь и т.п.) составляют интервальный статистический ряд. В этом случае числа означают число вариант, содержащихся в i-том интервале соответственно. При построении равновеликого интервального ряда оптимальную длину интервала рассчитывают по формуле Стэрджеса:

Плотностью относительных частот для интервального ряда называется отношение ,

где h – длина соответствующего интервала.

Гистограмма относительных частот – это столбчатая диаграмма, составленная из прямоугольников на каждом интервале с высотой соответственно . Гистограмма является статистическим аналогом кривой распределения. Вид гистограммы часто показывает теоретический закон, по которому распределена изучаемая случайная величина.