Цилиндрическая стенка

Запишем дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат. Для этого используем известные соотношения, связывающие декартовы и цилиндрические координаты (рис. 10.7):

Тогда

.

Рассмотрим одномерный процесс теплопроводности в бесконечной цилиндрической стенке (рис. 10.8). Предположим, что на внутренней и внешней полостях стенки, температура не зависит от угла . Тогда получим:

. (10.8)

Зададим граничные условия задачи:

при ;

при .

Приведем уравнение (10.8) к виду:

откуда

.

После первого интегрирования получим:

или .

После второго интегрирования имеем:

. (10.9)

Постоянные интегрирования определим из граничных условий:

при

; (10.10)

при

. (10.11)

Вычитая из уравнения(10.11) выражение (10.10) получим:

,

следовательно,

.

Постоянную найдем из уравнения (10.10):

.

Подставляя выражения для и в уравнение (10.9), найдем:

или

.

Из последнего выражения видно, что искомое распределение температуры по толщине цилиндрической стенки логарифмически зависит от координаты r.

Плотность теплового потока определим из закона Фурье:

.

Количество теплоты, проходящее сквозь цилиндрическую стенку, через единицу длины:

.

Используя последнюю формулу можно определить количество теплоты, проходящее сквозь многослойную цилиндрическую стенку:

,

где n – количество слоев.

10.8. Теплопередача через твердую стенку

Т еплообмен между горячей и холодной средой через разделительную твердую стенку является одним из наиболее важных и часто используемых в технике процессов. Например, получение пара заданных параметров в котлоагрегатах основано на процессе передачи теплоты от одного теплоносителя к другому. В многочисленных теплообменных устройствах, применяемых в любой области промышленности, основным рабочим процессом является процесс теплообмена между теплоносителями. Такой теплообмен называют теплопередачей.

Для примера рассмотрим процесс переноса теплоты от горячей движущейся жидкости с температурой к холодной движущейся жидкости с температурой через твердую стенку (рис. 10.9).

Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке найдем по формуле:

. (10.12)

Плотность теплового потока через стенку равна:

. (10.13)

Плотность теплового потока от стенки к холодной жидкости найдем из выражения:

. (10.14)

Определим полный температурный напор: . Для этого из равенств (10.12) – (10.14) определим сначала местные температурные напоры:

;

;

.

Складывая эти равенства, получим полный температурный напор:

.

Введем обозначения:

. (10.15)

Величину k называют коэффициентом теплопередачи.

Плотность теплового потока находят по формуле:

.