Раздел 3. Определённый интеграл

Литература

Л.1.1. (гл.4 ст.171-210)

Л.1.2. (ст.117-172)

Л.1.3. (Демидович №1534-1619(выборочно))

Изучаемые вопросы

1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Задачи, приводящие к вычислению определенного интеграла. Геометрический омысл определенного интеграла. Необходимое условие интегрирования функции на отрезке. Достаточное условие интегрирования функции на отрезке. Простейшие свойства интеграла. Теорема о среднем значении определенного интеграла.

2. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

3. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной. Интегрирование по частям.

4. Несобственный интеграл с бесконечными пределами (I рода) и от неограниченной функции (П рода). Основные овойства. Понятие об абсолютной и условной сходимости. Признаки сходимости.

5. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Вычисление длины дуги. Применение интеграла к вычислению объема тела и площади поверхности вращения. Механические приложения определенного интеграла.

Определенный интеграл находит широкое применение в различных разделах математики и других естественных науках. Некоторые наиболее типичные из них будут разобраны в этом разделе. Предварительно будет дано определение и сформулированы основные овойства определенного интеграла.

3.1.Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). Разобъём отрезок [a,b] на n частей точками и положим В каждом из отрезков [ ] выберем внутреннюю точку и вычислим за ней значение функции (рис.4). Затем усножим значение функции на длину соответствующего отрезка и просуммируем полученные произведения по .

Полученная сумма называется интегральной суммой функций f(x) на отрезке [a,b].

Определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральных сумм при измельчении отрезка [a,b] (увеличении числа точек разбиения) и стремлении к нулю максимальной длины отрезков разбиения, если этот предел существует, не зависит от способа разбиения отрезка точками и от выбора .

Определённый интеграл функции f(x) на отрезке обозначают .

Таким образом, по определению имеем:

.

Числа а и b называют верхним и нижним пределами интегрирования.

Замечание. Определение определённого интеграла давалось для случая a<b. В случае, когда b <а, положим по определению .

В случае a=b примем .

3.2. Геометрический смысл определенного интеграла

Геометрически интегральная сумма представляет собой алгебраическую сумму площадей прямоугольников, стороны которых равны и соответственно, причем площади, расположенные выше оси ОХ, берутся оо знаком плюс, ниже оси ОХ - со знаком минус.

Совершая предельный переход , получим, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной вертикальными прямыми х = а , х = b , осью ОХ и графиком функции у=f(x).

Необходимое и достаточное условия интегрируемости функвдй на отрезке

Теорема 1 (Необходимое условие интегрируемости).

Если функция f(x) интегрируема на некотором отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2 (Достаточное условие интегрируемости).

Непрерывная на отрезке [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.

Замечание. Непрерывность функции является лишь достаточным условием интегрируемости, но не является необходимым, т.е. существуют интегрируемые» но разрывные на отрезке [a,b] функции. Например функция

, на отрезке [-1,1] имеет разрыв первого рода при х=0, но является интегрируемой на отрезке [-1,1].