3.3. Простейшие свойства определенного интеграла

1. Постоянный мнозкитель можно выносить за знак определенного интеграла: .

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической оумме интегралов слагаемых:

.

3. Если на отрезке , то .

4. Если то .

5. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует такая точка из интервала [a,b], что .

6. Если f(a) интегрируема на [a,b], то для любого значения выполняется равентво .

3.4. Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [a,x], где , то есть для любого существует интеграл , который называется определённым интегралом с переменным верхним пределом. Имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Производная определенного интеграла от непрерывой на отрезке [a,b] функции f(x), рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцированная: .

3.5. Формкла Ньютона-Лейбница

Если F(x) – первообразная функция для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x), т.е. , то определеный интеграл от функции f(x) вычисляется по формуле, , называемой формулой Ньютона-Лейбница.

Эта формула позволяет свести вычисление определённого интеграла к вычислению неопределённого интеграла.

Пример 1. Вычислить .

Решение. .

Замечание. При вычислении определенного интеграла используются все изложенные ранее методы интегрирования для неопределенного интеграла. Поэтому приведем лишь примеры с использованием метода подстановки (замены переменной) и интегрирования по частям.

3.6. Вычисление определенного интеграла при помощи замены переменной

Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции иногда удобно воспользоваться заменой пере­менной, положив . При этом, если функция удов­летворяет условиям:

1. определена и непрерывна на некотором отрезке ;

2. для всех ;

3. ;

4. на отрезке функция имеет непрерывную производную , то имеет место равенство .

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к исходной переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, надо лишь обратить внимание на нахождение новых пределов интегрирования для новой переменной.

Пример 2.

Решение. Положим . Выберем пределы интегрирования так, чтобы на отрезке выполнялись условиям 1)-4). Из условия 3) имеем: , откуда , в частности, можно . Далее, , откуда в частности, можно положить . На отрезке функция определена и непрерывна, и её значения выходят за прелделы отрезка , когда . На отрезке существует непрерывная производная . Итак, указанная замена удовлетворяет условиям 1)-4), поэтому имеем: .

3.7. Формула интегрирования по частям

Пусть функции непрерывны на отрезке вместе со своими производными . Тогда имеет место Формула интегрирования по частям:

.

Пример 3. Вычислить

Решение. Положим , откуда . Заметим, что функции непрерывны на [1, e]. Применяя формулу интегрирования по частям, получим .

Пример 4. Вычислить

Решение. Положим , откуда . Заметим, что функции непрерывны на [0, π]. Применяя формулу интегрирования по частям, получим

Для вычисления интеграла ещё раз применим формулу интегрирования по частям, положив , откуда . (Почему это возможно?)

Получим .

Окончательно получим .