Лабораторная работа №1 «Идентификация параметров статической характеристики объекта»

1.1 Цели и задачи работы

Целью работы является определение параметров регрессионной модели. Студент должен уметь применить знания, полученные при изучении темы «Построение моделей статики объекта управления по данным пассивного эксперимента (регрессионный анализ)». Литература [1-10]

1.2 Содержание работы

Теоретические основы.

Пусть имеется объект с несколькими входами и одним выходом:

Рисунок 1.1. Структурная схема объекта

Идентификацию объекта начинают с определения статической характеристики. Подготовка к проведению эксперимента по снятию статической характеристики состоит в изучении конструкции и технологических режимов работы объекта, выбора входного (регулирующего) воздействия, стабилизации (если это возможно) источников помех. Затем выявляются минимальная Хmin и максимальная Хmax границы изменения входной координаты объекта и устанавливается минимально допустимое по технологическому режиму значение Xmin=X1. После окончания переходного процесса tпп, вызванного X1, на выходе объекта устанавливается значение Y1. Далее дается приращение входной координате X, формируется значение сигнала , который и подается на вход объекта. Спустя время tпп, регистрируется установившееся значение выхода Y2 и т.д. В результате проведения М опытов получается некоторая таблица соответствия между Xq и Yq (q=1,2,…,N).

Таким образом при исследовании статики этого объекта экспериментатор должен через определенные промежутки времени давать приращение ΔXi входной переменной Xi, поддерживая постоянными другие входные переменные. Т.е. Xi последовательно изменяется от Ximin до Ximax. При этом производится регистрация выходной переменной Y. В результате эксперимента получают статическую характеристику в виде таблиц соответствия между различными значениями X и значением Y.

Целью обработки эксперимента является аппроксимация полученной в табличной форме зависимости некоторым аналитическим выражением F(x).

Для метода приближения характерна минимизация некоторого функционала характеризующего различие между F(X)-Y(X) на всем диапазоне изменения независимой переменной Xi. На практике чаще всего используется квадратичное приближение при котором минимизируемый функционал имеет вид:

В практических расчетах функционал примет вид:

(1.1)

Для определения коэффициентов Al необходимо продифференцировать (1.1) по каждому из этих коэффициентов и приравнять к нулю полученные уравнения. Тогда мы получим систему из (m+1) уравнений, из которых мы сможем определить искомые коэффициенты:

k = 0,1,2,...,m

(1.2)

(1.3)

Рассмотрим метод наименьших квадратов для функции линейного вида F(X) = A+B·X

Адекватность полученной модели можно проверить определением средней относительной ошибки в каждой из экспериментальных точек:

(1.4)

- степенная функция –

Линеаризация проводится логарифмированием,

(1.5)

Сделаем замены:

; ;

После этого уравнение регрессии становится линейным:

;

где: Y(Xi) - экспериментальные точки,

F(Xi) - значения, полученные по модели

Если ε окажется менее 3-5%, то можно утверждать, что модель адекватно описывает экспериментальные данные.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

К внутренне линейным моделям относятся

- степенная функция –

Линеаризация проводится логарифмированием,

(1.5)

Сделаем замены: ; ; .

После этого уравнение регрессии становится линейным:

;

- показательная – ,

- экспоненциальная –

Чтобы уравнение стало линейным, нужно убрать из показателя степени коэффициент b. Единственный способ — это сделать – логарифмировать обе части равенства:

(1.6)

Сделаем замены: ; ; .

После этого уравнение регрессии становится линейным:

.

Нужно пересчитать исходные данные для фактора Y, и потом, когда коэффициенты регрессии будут найдены, вернуться назад к коэффициентам .;

- логистическая –

,

- обратная –

.

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели:

, .

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

, (1.7)

где . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Таблица 1.1 Линеаризация моделей

Название функции			Вид модели		Заменяемые переменные		Вид линеаризованной модели
Показательная		Ln y = Ln a+ х ln b		Ln y = Y, Ln a = α, Ln b =β		Y = a + xb
Степенная		Ln y = Ln a+ b ln x		Ln y = Y, Ln a = α, Ln x =x		Y = a + bx
Гиперболическая		Y = a + b/x		1/x=X		Y = a +b X

Рассмотрим далее функции вида (1.8), которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным:

. (1.8)

Мы обнаружим, что соотношение (1.8) может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов.

Применение логарифмов

Основные правила гласят:

Если у = xz, то log у = log x + log z-

Если у = x/z, то log у = log х – log z.

Если у = хп, то log у – n log х

Эти правила могут применяться вместе для преобразования более сложных выражений. Например, возьмем уравнение (1.8). Если то по правилу 1:

log у = log а + log x и по правилу 3

= log a + log х.

Для натуральных логарифмов справедливо еще одно правило:

4. Если у = ex, то log у = х.

Выражение ех, которое часто записывается как exp (x), известно также как антилогарифм х. Можно сказать, что log ( ) является логарифмом антилогарифма х, и так как логарифм и антилогарифм взаимно уничтожаются, неудивительно, что log (е ) превращается просто в х.

Используя приведенные выше правила, уравнение (1.8) можно преобразовать в линейное путем логарифмирования его обеих частей. Если соотношение (4.4) верно, то

logy = log = log a + logx (1.9)

Если обозначить у’= log у, z = log х и a'= log а, то уравнение (1.8) можно переписать в следующем виде:

у'=а'+βz. (1.10)

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычислим у' и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статистической программы. Затем оценим регрессионную зависимость у' от z. Коэффициент при z будет представлять собой непосредственно оценку β. Постоянный член является оценкой а', т. е. log а. Для получения оценки а необходимо взять антилогарифм, т. е. вычислить ехр (а’).