Вопрос 43. Производные высших порядков

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D и существует . Тогда на D определена функция . Если эта функция имеет производную в точке xD, то её называют производной второго порядка (или второй производной) функции f(x) в точке x.

Обозначается , , , .

Таким образом .

Производные высших порядков определяются индуктивно. Если для любого существует , то на D определена функция . Производная от этой функции (если она существует) в точке xD называется производной n–го порядка функции f(x) в точке x.

.

Обозначается: , , , .

Cчитают, что .

Заметим, что если существует в точке х, то в некоторой окрестности точки существует и все производные более низкого порядка k, k<n. . Вопрос44. Дифференциал функции. Его геометрический смысл. Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х₀. Дифференциалом функции f(x) в точке х₀ называется главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента . Обозначается dy, . Таким образом, согласно определению

.

Рассмотрим функцию , , то есть для независимого аргумента х дифференциал и приращение совпадают: .

Дифференциалом независимой переменной х называется ее приращение : .

Тогда из определения дифференциала следует

.

Из определения производной и дифференциала следует, что при малых справедливо приближенное равенство: или формула:

(5)

Пример. Вычислить приближенно: .

Решение. Для приближенного вычисления будем использовать формулу (5).

В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю: , .

Подставим эти значения в формулу (5):

Ответ: .

Пример. Вычислить приближенно .

Решение. Для приближенного вычисления будем использовать формулу (5)

В нашем случае следует взять , , . Выберем и так, чтобы вычислялось легко, а было достаточно мало по модулю: , .

Подставим эти значения в формулу (5):

.

Ответ: .

Вопрос 45. Основные теоремы дифференциального исчисления (т. Ферма, т. Ролля, т. Лагранжа)

Пусть функция  определена и дифференцируема на интервале (а,в) и в некоторой точке  принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда  =0.

Док-во. Пусть  - наибольшее значение функции на интервале (а,в). Тогда при  :  ,  .

При  :  ,  .Если функция по условию дифференцируема в т.  , то указанные выше пределы должны совпадать. А это возможно лишь при  =0.▲ 

Геометрически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего или наименьшего значений дифференцируемой функции касательная к графику функции имеет нулевой угловой коэффициент, т.е. параллельна оси Ох.

Теорема Ролля (о среднем).Пусть функция  :

1) непрерывна на отрезке  ;

2) дифференцируема на интервале  ;

3) принимает на концах интервала равные значения: f(a)=f(b).

Тогда существует т.  , такая, что  .

Док-во. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба эти значения достигаются на концах отрезка, а по условию они равны, следовательно, функция постоянна и ее производная равна нулю. Если хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то  по теореме Ферма. ▲

Замечание. Если f(a)=f(b)=0, то теорему Ролля можно сформулировать так: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Теорема Лагранжа (о среднем). Пусть функция  :

1) непрерывна на отрезке  ;

2) дифференцируема на интервале  .

Тогда существует т.  , такая, что  .

(или  , эта формула называется формулой конечных приращений).

Док-во. Введем новую функцию  . Она непрерывна на отрезке  , дифференцируема на интервале  и g(a)=g(b). Т.о., эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует т.  , такая, что  или:

, откуда  . ▲

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.

Производная  - это тангенс наклона касательной в точке с. А отношение  - это тангенс наклона секущей, проходящей через точки А и В. Тогда теорема означает, что на интервале (а,в) найдется точка с, в которой касательная параллельна секущей АВ.