34

Лабораторная работа № 3

ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ

ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

Цель работы

1. Изучение динамики вращательного движения.

2. Экспериментальная проверка основного уравнения динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

Теоретическое введение

Вращательнымназывается такое движение твердого тела вокруг неподвижной оси, при котором все точки тела описывают окружности с центрами на этой оси. При этом точки за одно и то же времяt поворачиваются на одинаковый угол φ. В механике рассматриваетсявектор угла поворота. По модулю он равен углу поворота тела за некоторый промежуток времени и направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта. Единица измерения угла поворота в СИ – 1 рад.

Угловая скорость (рад/с) и угловое ускорение (рад/с²) наряду с углом поворота являются основнымикинематическими характеристикамивращательного движения.

Следствием основного закона динамики – второго закона Ньютона – является основное уравнение динамики вращательного движениятвердого тела вокруг неподвижной осиOZ:

(1)

где I_Z – момент инерции тела относительно оси вращения,M_Z – суммарный момент внешних сил, приложенных к телу, относительно оси вращения.

Если сила , приложенная к телу, лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, томоментом силы относительно оси называется величина, равная:

(2)

где l – плечо силы– кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы (смотри рисунок 1). Из рисунка видно, чтогдеr– расстояние от оси до точки приложения силы, α – угол между векторамии. Если к телу приложено несколько сил, то результирующий момент равен алгебраической сумме моментов каждой из этих сил относительно той же оси:

Единица измерения момента силы в СИ – 1 Н·м.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси:

. (3)

Для системы материальных точек момент инерции определяется как сумма моментов инерции отдельных материальных точек :

. (4)

Момент инерции твердого тела:

, (5)

где ρ – плотность, V – объем тела; ρdV – масса бесконечно малого элемента объема dV твердого тела.

Как видно из определения, момент инерции тела есть величина аддитивная; момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей; момент инерции системы тел равен сумме моментов отдельных тел. Единица измерения момента инерции – 1 кг·м².

Из уравнения (1) следует, что угловое ускорение, сообщаемое телу моментом силы, обратно пропорционально моменту инерции тела (ε = M_Z/I_Z), то есть чем больше момент инерции тела, тем меньше его угловое ускорение. Следовательно, момент инерции характеризует инерциальные свойства тела при вращательном движении подобно тому, как масса характеризует инерциальные свойства тела при поступательном движении. Однако в отличие от массы момент инерции данного тела может иметь множество значений, соответствующих различным осям вращения. Поэтому, говоря о моменте инерции твёрдого тела, необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитывается. На практике обычно приходится иметь дело с моментами инерции относительно осей симметрии тела.

Формулы для расчета моментов инерции некоторых тел относительно оси симметрии приведены в таблице 1.

Таблица 1- Моменты инерции некоторых тел

Форма тела	Момент инерции
Тонкий обруч	mR2
Сплошной диск	1/2 mR2
Стержень	1/12 ml2
Шар	2/5 mR2