Вопрос 41. Производная неявной функции и параметрически заданной Говорят, что уравнение задает неявно функцию , на интервале , если для всех выполняется равенство .

Для вычисления производной функции следует продифференцировать по тождество , помня, что есть функция от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример 3.1.Найти значение в точке для функции, заданной неявно уравнением .

Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией от x, получаем:

,

откуда .

Полагая x = 1, y = –1, находим

Предположим, что функциональная зависимость   от   не задана непосредственно  , а через промежуточную величину —  . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция   задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции   и   определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра  . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что  , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной   выполним следующие преобразования:

Задание. Найти вторую производную   для функции   заданной параметрически.

Решение. Вначале находим первую производную   по формуле:

Производная функции   по переменной   равна:

производная   по  :

Тогда

Вторая производная равна

Вопрос 42. Логарифмическое дифференцирование.

Для функций вида   для упрощения нахождения производной рациональнее использовать логарифмическое дифференцирование.

Суть метода логарифмического дифференцирования

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция  . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что   является функцией от  , то есть найдем производную сложной функции:

А тогда, выражая искомую производную  , в результате имеем:

Задание. Найти производную функции 

Решение. Если находить производную данной функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, то процесс будет очень трудоемким. Производную будем находить с помощью логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем левую и правую части заданной функции:

Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть полученного равенства к следующему виду:

Таким образом, получаем, что логарифм заданной функции равен:

Дифференцируем левую и правую часть последнего равенства, не забывая, что   является функцией переменной  :

Итак,

Отсюда

Подставляя вместо функции   ее выражение, окончательно будем иметь, что