Вопрос 30

Параболой называется множество всех точек плоскости в каждой из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости называемой фокусом и заданной прямой называемой директрисой .

Каноническое ур-ние параболы:

- =

Свойства параболы :

* Парабола имеет ось симметрии

* Парабола расположена в полуплоскости x ≥ 0

Вопрос №31

Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению

в котором по крайней мере один из коэффициентов  ,  ,  ,  ,  ,   отличен от нуля.

Цилиндрические поверхности.

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей ,целиком принадлежит поверхности S.

Коническая поверхность.

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через M₀ и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Поверхности вращения.

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M₀(x₀,y₀,z₀) поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z₀ с центром  (0,0,z₀) и радиусом целиком принадлежит этой поверхности.

Эллиптический параболоид. Уравнение эллиптического параболоида имеет вид

Гиперболический параболоид. Уравнение гиперболического параболоида имеет вид

Центральные поверхности.

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты (x₀,y₀,z₀) можно найти решив систему уравнений

Вопрос №32

Множество – одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Формулировка Бертрана: Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.

Бинарные операции:

1)пересечение:

.

2)объединение:

.

Если множества   и   не пересекаются, то  . Их объединение обозначают также:  .

3)разность:

.

4)симметрическая разность:

.

5)декартово или прямое произведение:

.

Вопрос №33

Элементы теории функций.

Определение: Если каждому комплексному числу Z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число W из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множестве G. W= F(Z).

Множество D называется Областью определения, множество G – областью значений функции.

Комплексную функцию можно записать в виде:

U,V- действительные функции от переменных X и Y. Если каждому соответствует несколько различных значений W=F(Z) называется многозначной. Определение: функция имеет предел в точке Z0, равный числу А = a + ib, если 

Элементарные функции- функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

1) алгебраическая

2) степенная

3) рациональная

4) трансцендентные

5) показательная и логарифмическая

6) тригонометрическая и обратные тригонометрические

Вопрос №34

Числовая последовательность - это последовательность элементов числового пространства. Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Пусть X – это либо множество вещественных чисел R, либо множество комплексных чисел C. Тогда последовательность   элементов множества X называется числовой последовательностью.

Предел последовательности: Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т.е все её элементы, начиная с некоторого. По модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

Число е: e-математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число е называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой е и численно равно 2.7182

Вопрос №35

Бесконечно малая – числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность   называется бесконечно малой, если  Функция называется бесконечно малой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если   либо  .

Теорема о бесконечно малых. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то  .

Обратно, если  , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Сравнение бесконечно малых. Пусть а(x) , b(x) и g(x) – бесконечно малые функции при . Будем обозначать эти функции a,b,g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е по быстроте их стремления к нулю.

Бесконечно большая – числовая функция или последовательность. Которая стремится к бесконечности определенного знака.

Последовательность   называется бесконечно большой, если 

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки  , если  .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если   либо  .

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями: Если функция   - функция бесконечно малая ( ), то функция   есть бесконечно большая функция и наоборот.

ВОПРОС №:36

ПРЕДЕЛ ФУЕКЦИИИ В ТОЧКЕ

Пусть функ. Y=f(x) определена в некоторой окрестности х0, кроме самой точки х0.Число А называется пределом функ. В точке х0 или при х → х0 если для любого    > 0

Найдется >0 такое что для всех

х ≠х0 для которых 0<| х-х0| < , выполняется неравенство

|f(x)-A|<

Запись

LIM f(x) = A

x→x0

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ

Пределы функ. Слева или справа наз. Односторонними

Число A1. Называется пределом функ y=f(x) слева , если для любого > 0 существуют

= ( )>0 такое что при х принадлежащему промежутку

(х0- ;x0) выполняется неравенство |f(x)-A1|<

запись

LIM f(x) = A1

X→x0-0

Предел справа – аналогично

запись

LIM f(x) = A2

X→x0+0

Основные теоремы о пределах

Пусть даны ф f(x) и g(x) и X→0

1)Педел суммы 2-х функ. = сумме(разности)их пределов

LIM( f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)

X→0

2)Lim произведения 2-х функ.=произв. Их пределов

LIM( f(x)* g(x)) = lim f(x) *lim g(x)

X→ 0

3)lim дрорби =lim числителя на lim знаменателя

Limf(x)/g(x) =lim Limf(x)/lim g(x)

X→ 0

Замечания: 1)функ. Может иметь один предел при х→х0

2)Постоянное множество можно выносить за знак lim

3) lim степени с натуральным показателем равен той же степени предела

Виды неопределенностей

1)[0\0] Раскрытие- числитель и знаменатель делим на (х-а) а – то к чему стремится

2)[ ∞\ ∞] Раскрытие- числит и знам делим на х^n n- наибольший показатель

3)[1^∞] Раскрытие – подводим ко 2-му замечательному пределу.

При неопределенностях другого вида с помощью преобразований приводим к 1 из 3 видов