Вопрос 54

Асимптотой кривой y=f(x), имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, расстояние которой от точки (x,f(x)), лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном движении вдоль ветви к бесконечности.  Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными. Горизонтальную асимптоту часто рассматривают как частный случай наклонной асимптоты.

Вертикальная асимптота

Прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если выполнено хотя бы одно из условий:

limx→a−0f(x)=±∞,limx→a+0f(x)=±∞.

Другими словами, хотя бы один из односторонних пределов в точке x=a должен быть равен бесконечности. Вертикальная асимптота часто встречается у дробно-рациональных функций в точках, где знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю (т.е. в точках разрыва второго рода). Например, график функции y=1xимеет вертикальную асимптоту x=0 (рисунок 1). В данном случае оба односторонних предела (слева и справа) стремятся к бесконечности:

limx→0−01x=−∞,limx→0+01x=+∞.

Ф ункции, которые являются непрерывными на всем множестве действительных чисел, вертикальных асимптот не имеют.

Рис.1		Рис.2

Наклонная асимптота

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), при x→+∞ (рисунок 2), если

limx→+∞[f(x)−(kx+b)]=0.

Аналогично вводится понятие наклонной асимптоты при x→−∞.  Наклонные асимптоты графика функции y=f(x) могут быть разными при x→+∞ и x→−∞. Поэтому при нахождении наклонных (или горизонтальных) асимптот оба случая следует рассматривать отдельно.  Коэффициенты k и b наклонной асимптоты y=kx+b определяются с помощью следующей теоремы:  Для того, чтобы прямая y=kx+b была асимптотой графика функции y=f(x) при x→+∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предела:

limx→+∞f(x)x=kиlimx→+∞[f(x)−kx]=b.

Вопрос 55.

1.найти область определения функции

2.найти точки пересечения графика с осями координат.

3.определить четность или нечётность функции

4.найти асимптоты графиков функции.

5.найти интервалы монотонности функции.

6.найти экстремумы функции

7.найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

8.дополнительные точки

9.выполнить построение

Вопрос 56

Понятие производной векторной функции

    Пусть векторная функция r(t) задана в некоторой окрестности точки t₀; тогда соотношение     определено в соответствующей проколотой окрестности точки t₀.      Определение 3. Предел     (если он, конечно, существует) называется производной векторной функции r(t) в точке t₀ и обозначается r'(t₀) или  (t₀)     Если положить  t = t - t₀,  r = r(t) - r(t₀) = r(t₀ +  t) - r(t₀), то

16.17)

Пусть r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Так как

то в силу (16.9), (16.10) для того, чтобы векторная функция r(t) = (x(t), y(t), z(t)) имела производную в точке t₀, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты x(t), y(t), z(t) имели производные в точке t₀, причем в этом случае

r'(t) = (x'(t0), y'(t0), z'(t0)).

(16.18)

    Производную r'(t) вектор-функции r(t) называют также скоростью изменения вектора r(t) относительно параметра t. В случае когда длина вектора r(t) не меняется, производная r'(t) называется также искоростью вращения вектора r(t), а ее абсолютная величина - численным значением скорости его вращения.      Замечание 1. По аналогии со случаем скалярных функций векторную функцию  (t), t   X, называют бесконечно малой по сравнению со скалярной функцией  (t), t   X, при t t₀ и пишут  (t) = o( (t)), t t₀, если существует векторная функция  (t), определенная на том же множестве X, что и функции  (t),  (t), такая, что в некоторой окрестности точки t = t₀ имеет место равенство  (t) =  (t) (t), t   X, и

(t) = 0.

Как и для скалярных функций, если t₀   X, то функция  (t) непрерывна в точке t₀, и потому  (t₀) = 0.      Замечание 2. Вектор-функция аргумента t называется линейной, если она имеет вид at + b, где a и b - какие-либо два фиксированных вектора.      После этих вводных замечаний можно определить понятие дифференцируемости и дифференциала вектор-функции.