Вопрос 51, Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции. Необходимое условие экстремума (Необходимое условие экстремума)

Если функция   имеет экстремум в точке  , то ее производная   либо равна нулю, либо не существует.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции   выполнены следующие условия:

функция непрерывна в окрестности точки  ;

 или   не существует;

производная   при переходе через точку   меняет свой знак.

Тогда в точке   функция   имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку   производная меняет свой знак с плюса на минус.

Второе достаточное условие экстремумаПусть для функции   выполнены следующие условия:

она непрерывна в окрестности точки  ;

первая производная   в точке  ;

 в точке   .

Тогда в точке   достигается экстремум, причем, если  , то в точке   функция  имеет минимум; если  , то в точке   функция   достигает максимум.

Экстремум функции необходимые и достаточные условия существования экстремума функции. наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области.

Вопрос 52. Точка   называется точкой локального максимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности выполняется неравенство:  .Точка   называется точкой локального минимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности 

(Необходимое условие экстремума).Если функция   имеет экстремум в точке  , то ее производная   либо равна нулю, либо не существует.

П ервое достаточное условие экстремума).Пусть для функции   выполнены следующие условия:1.функция непрерывна в окрестности точки  ;2.  или   не существует;3.производная   при переходе через точку   меняет свой знак.(Второе достаточное условие экстремума).Пусть для функции   выполнены следующие условия:1.она непрерывна в окрестности точки  ;2.первая производная   в точке  ;3.  в точке   . Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  .Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение  , что для любого   справедливо неравенство  .

Вопрос 53

График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале ]a, b[, если в этом интервале он расположен ниже любой своей касательной (рис. 1).

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если в точке  функция f(x) имеет первую производную  , а вторая производная  в этой точке равна нулю или не существует, и кроме того, при переходе через   меняет знак, то

является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Теорема (необходимое условие точки перегиба)

Если точка   – точка перегиба функции   и если   в некоторой окрестности точки   (непрерывная в точке  ), то  .

 

Теорема (достаточное условие точки перегиба)

Если функция   непрерывна в точке   и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если   меняет знак при переходе через точку  , то точка   –  точка перегиба функции  .