Вопрос 46. Правило Лопиталя.

При раскрытии неопределенностей , кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:

Eсли или и существует предел отношения их производных , то .

Это правило справедливо и в случае .

Пример 6.1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:

а) ; б) ; в) .

Решение. Убедившись, что имеет место случай или , применяем правило Лопиталя.

а) ,

б) .

Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.

в) .

При раскрытии неопределенностей для применения правила Лопиталя, данное выражение надо преобразовать к неопределенностям или путем алгебраических преобразований.

Пример 6.2. Найти пределы:

а) ; б) .

Решение: а) Имеем неопределенность . Приведем эту неопределенность к неопределенности , а затем применим правило Лопиталя:

.

б) Имеем неопределенность . Преобразуем к неопределенности , после чего применим правило Лопиталя:

.

При раскрытии неопределенностей , , рекомендуется найти предварительно предел логарифма искомой функции.

Пример 6.3. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность . Введем обозначение

, тогда . .

Получили неопределенность , применяем правило Лопиталя:

.

Так как . Следовательно .

Пример. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить предел .

Решение. В данном случае имеется неопределенность , но от нее не удается избавится после однократного применения правила Лопиталя. В данном примере это правило приходится использовать три раза.

.

Вопрос 47.Дифференциалы высших порядков.

Если для функции y=f(x) в точке х существует , то говорят, что функция n раз дифференцируема в этой точке.

Пусть y=f(x) дважды дифференцируема на множестве D. Дифференциалом второго порядка функции f называется дифференциал от её дифференциала первого порядка и обозначается . Таким образом .

Если х – независимая переменная, то

.

Итак, .

Дифференциал любого порядка определяется индуктивно. Предположим, что уже введён дифференциал (n-1)–го порядка , и что y=f(x) дифференцируема n раз.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от её дифференциала (n-1)-го порядка.

Обозначается . Т. о., .

Аналогично, как для дифференциала второго порядка, получим

.

Вопрос 48.Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функции.

Теорема. (Необходимые условия).Если дифференцируемая на интервале  функция  возрастает на данном интервале, то  если функция  убывает на  , то 

Доказательство. Рассмотрим функцию  – возрастающую на интервале  Возьмем произвольную точку и  зададим приращение  так чтобы  Определим отношение  Из условия возрастания функции  следует, что

при  , т.е. 

при  , т.е. 

Отсюда ясно, что  так как числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция  имеет производную в точке  и переходя к пределу отношений приращений (строгое неравенство заменяется на нестрогое), получим  Теорема доказана.

Итак, для дифференцируемой функции  необходимое условие монотонности кратко может быть записано следующим образом:

– возрастает   – убывает 

Теорема (Достаточные условия). Если дифференцируемая на интервале  функция  имеет  для  , то эта функция возрастает (убывает) на интервале  .

Доказательство. Возьмем две произвольные точки  такие, что  По теореме Лагранжа имеем  где  По условию  и  Следовательно,  или  , что означает возрастание функции на интервале  . Теорема доказана.Аналогично доказывается убывание функции.Итак, для дифференцируемой функции  достаточное условие монотонности кратко может быть записано следующим образом:

– возрастает  – убывает. Геометрически теоремы означают, что в каждой точке графика возрастающей функции касательная образует острый угол с положительным направлением оси Ox (рис.29 a), а в каждой точке графика убывающей функции касательная образует тупой угол с положительным направлением оси Ox (рис. 29б ).

Вопрос 49. Исследование функции на экстремум, необходимое и достаточное условие экстремума.Точка называется точкой максимума (точкой минимума) функции , если во всех точках , достаточно близких к точке и отличных от нее, выполнено неравенство ( ).Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума) функции , если во всех точках , достаточно близких к точке и отличных от нее, выполнено неравенство ( ).

Значение функции в точке называется строгим максимумом (строгим минимумом) функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.Точка называется стационарной точкой функции , если . Точка называется критической точкой функции , если или не существует.

Из теоремы 3 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.

Теорема(*) (Достаточное условие экстремума. Первое правило). Пусть в точке производная функции обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, тогда точка - точка экстремума функции, причем если:

1) при и при , то - точка строгого максимума;

2) при и при , то - точка строгого минимума.

Теорема (Достаточное условие экстремума. Второе правило). Если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то - точка экстремума, причем:

1) - точка максимума, если ;

2) - точка минимума, если .

Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на :

Найдем критические точки функции на . Расположим их в порядке возрастания: . Они делят на интервалы , ,…, . В каждом из них , она знакопостоянна (положительна, или отрицательна). Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по теореме(*) Вопрос 50. Наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области.

Если функция   определена и непрерывна на отрезке   , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение   функция   принимает в точке  , то  будет локальным максимумом функции  , так как в этом случае существует окрестность точки  , такая, что  .Однако свое наибольшее значение   функция   может принимать и на концах отрезка   . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение   непрерывной на отрезке   функции  , надо найти все максимумы функции на интервале  и значения   на концах отрезка  , то есть   и  , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках. Наименьшим значением   непрерывной на отрезке   функции   будет наименьший минимум среди всех минимумов функции   на интервале   и значений   и  .

Задание. Найти наибольшее и наименьшее значение функции   на отрезке   .

Решение. Находим производную функции:

Находим точки, в которых производная равна нулю:

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку   . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

Таким образом,