Билет №1 Роль математики в познании мира. Дискретная математика.

Дискретная математика – область математики, изучающей свойства дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в ее приложениях. К таким структурам могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машины Тьюринга и так далее. Свойства дискретных структур: - конечные структуры; - конечные графы; - некоторые математические модели преобразователей информации; - конечные автоматы; - машины Тьюринга; ... Дискретность – это прерывность. Дискретная математика – отрасль математики, которая изучает проблемы, касающиеся конечных множеств. Дискретная математика является одной из содержательных частей информатики, а именно теоретической части. Разделы дискретной математики: Математическая логика, математическая кибернетика, общая алгебра, теория графов, теория алгоритмов, теория игр, теория кодирования, теория конечных автоматов, теория формальных грамматик, вычислительная геометрия, теория булевых функций, логическое программирование, функциональное программирование, лямбда-исчисление, булева алгебра, комбинаторика.

Роль математики в современном мире. Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения. Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Выделяют 4 периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика. Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. Был накоплен к этому времени достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции.  В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика – наука о числе.  В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии – геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге «Начала» (300 лет до н. э.).  В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур.  С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие «бесконечно малой величины», создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).  На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.  К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта – метода координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.  Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения.  Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является «воображаемая геометрия» Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.  В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом.  Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения.

Билет №2 Логические исчисления. Графы. Алгоритмы. Языки и грамматики. Автоматы.

ЛОГИЧЕСКИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ формализации содержательных логич. теорий; выводимые объектыЛ. п. интерпретируются как суждения, составленные из простейших (имеющих, вообще говоря, субъектно-предикатную структуру) при помощи пропозициональных связок и кванторов. Чаще всего используютсясвязки "не", "и", "или", "если..., то..." и кванторы существованиях и всеобщности. От произвольных исчислений

Л. и. отличаются чисто логич. характером интерпретаций и правил вывода, от логико-математическихисчислений - отсутствием в языке символов конкретных математич. предикатов и функций (за исключениемсимвола   добавление к-рого интерпретируется как введение в рассмотрение равенства и не считаетсяобычно нарушающим логич. характер исчисления). Сформулированные отличия носят относительныйхарактер, т. к. Л. и. остаются чисто формальными системами, и любая возможная их интерпретация исемантика должны рассматриваться как нечто внешнее, имеющее эвристическую, а не доказательнуюценность при научении свойств исчисления.

Одно из важнейших Л. и. - классическое исчисление предикатов с функциональными знаками.

Кроме того, это исчисление имеет три правила вывода: "из Аи   можно получить В","из  можно получить   можно получить  ". Доказуемыми формулами(или теоремам и) рассматриваемого исчисления наз. любые формулы, к-рые могут быть получены из аксиом исчисления в результате применения (возможно, многократного) указанных правил (см. Вывод логический).

Граф это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек. Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными.  Если ребра ориентированны, что обычно показывают стрелками, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом.  Если ребра не имеют ориентации, граф называется неориентированным. Графы обычно изображаются в виде геометрических фигур, так что вершины графа изображаются точками, а ребра - линиями, соединяющими точки. Петля это дуга, начальная и конечная вершина которой совпадают. Простой граф граф без кратных ребер и петель. Степень вершины это удвоенное количество петель, находящихся у этой вершины плюс количество остальных прилегающих к ней ребер. Пустым называется граф без ребер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные.

Алгоритм - точное предписание исполнителю совершить определенную последовательность действий для достижения поставленной цели за конечное число шагов. Поэтому обычно формулируют несколько общих свойств алгоритмов, позволяющих отличать алгоритмы от других инструкций. Такими свойствами являются: • Дискретность • Определенность • Результативность (конечность) • Массовость 

Виды алгоритмов: • Механические алгоритмы• Гибкие алгоритмы • Вероятностный • Эвристический • Линейный алгоритм • Разветвляющийся алгоритм • Циклический алгоритм 

Вспомогательный 

Требования:

Первое правило – при построении алгоритма прежде всего необходимо задать множество объектов, с которыми будет работать алгоритм.

Второе правило – для работы алгоритма требуется память. В памяти размещаются входные данные, с которыми алгоритм начинает работать, промежуточные данные и выходные данные, которые являются результатом работы алгоритма

Третье правило – дискретность. Алгоритм строится из отдельных шагов (действий, операций, команд). Множество шагов, из которых составлен алгоритм, конечно.

Четвертое правило – детерменированность. После каждого шага необходимо указывать, какой шаг выполняется следующим, либо давать команду остановки. Пятое правило – сходимость (результативность). Алгоритм должен завершать работу после конечного числа шагов. При этом необходимо указать, что считать результатом работы алгоритма.

Коротко говоря, формальный язык — это математическая модель реального языка. Под реальным языком здесь понимается некий способ коммуникации (общения) субъектов друг с другом.

Основные принципы: 1)Обобщение (абстрагирование). Объекты изучения в математике — это специальные сущности, которые существуют только в математике и предназначены для изучения математиками. 2)Строгость рассуждений. В науке принято для выяснения истинности того или иного рассуждения сверять их результаты с тем, что существует в действительности, т.е. проводить эксперименты.

Виды грамматик:

Распознающие грамматики. Такие грамматики представляют собой устройства (алгоритмы), которым на вход подается цепочка языка, а на выходе устройство печатает «Да», если цепочка принадлежит языку, и «Нет» — в противном случае.

Порождающие грамматики. Этот вид устройств используется для порождения цепочек языков по требованию. Образно говоря, при нажатии кнопки будет сгенерирована некоторая цепочка языка.

Перечисляющие грамматики. Такие грамматики печатают одну за другой все цепочки языка. Очевидно, что если язык состоит из бесконечного числа цепочек, то процесс перечисления никогда не остановится. Хотя, конечно его можно остановить принудительно в нужный момент времени, например, когда будет напечатана нужная цепочка.

Автоматы: На протяжении последних десятилетий велись и ведутся интенсивные работы по созданию и использованию различных систем и устройств для переработки дискретной информации. Преобразователи дискретной информации широко используются в качестве различного рода технических автоматов, вычислительных устройств и их функциональных блоков, устройств управления роботами, управляющих объектами по заданному алгоритму. Широкий класс таких преобразователей объединяется под общим названием -автоматы. Эти устройства имеют конечное число входов, воспринимающих информацию, и конечное число выходов для выдачи переработанной информации. Зависимость между входами и выходами задается предписанным алгоритмом переработки информации. Информация на входе и выходе представляется символами, физическими носителями которых являются квантованные по времени сигналы. Теория автоматов - это раздел теории управляющих систем, изучающий математические модели преобразователей дискретной информации, называемые автоматами. Конечный автомат (рис.2б) — математическая абстракция, позволяющая описывать пути изменения состояния объекта в зависимости от его текущего состояния и входных данных, при условии, что общее возможное количество состояний Q и множество входных сигналов Z конечны. Конечный автомат является частным случаем абстрактного автомата.

Билет №3 Основные алгебраические структуры. Векторные пространства и линейные отображения.

Алгебраические структуры. Алгебраическая система ( или алгебраическая структура) в универсальной алгебре – множество G ( носитель) с заданным на нем набором операций и отношений ( сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций называется – моделью.

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы, как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R – модулей и т.п. Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Линейное отображение, линейный оператор – обобщение линейной числовой функции ( точнее, функции у=kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Векторное ( линейное) пространство – это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число – скаляр. Введенные операции подчинены 8 аксиомам. Скаляром же может являться элемент вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем векторов подобного пространства являются обычные евклидовы вектора , которые используются, к примеру, для демонстрации физических сил. При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства необязательно должен быть представлен в качестве направленного отрезка. Обобщение понятия “вектор” до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы. Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры.

Билет №4 Основные понятия функционального анализа.

Функциональные анализ – раздел высшей математики, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.

Основные разделы классического функционального анализа – это теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальная на бесконечномерных пространствах. Во второй половине 20 века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических. Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описанных языком функционального анализа. В частности, в начале 21 века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений, математической физике, теоретической физике (квантовая механика, теория струн), теории управления и оптимизации, теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и других областях. Теории преобразования Фурье, используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также является частью функционального анализа. Образно функциональный анализ естественно рассматривать как обобщение соединенных вместе линейной алгебры и математического анализа \ пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Скалярное произведение иногда внутреннее произведение - операция над 2 векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.

Билет №5 Комплексные числа. Действия над ними.

Комплексные числа Z называется выражение вида: z=x+y (z=a+bi), где х,у – действительные числа, a i –мнимая единица. Число х называется действительной частью комплексного числа и обозначается X=Rez, число y мнимой частью и обозначается y=Imz. Два комплексных числа Z1=X1+Y1, Z2=X2=Y2 называются равными тогда и только тогда когда равны их действительные части и мнимые X1=Y2 и X2=Y2.

Комплексное число =0 тогда и только тогда когда X=Y=0. Понятие больше меньше для комплексного числа не определено. Два комплексных числа отличаются только знаком мнимой части: Z1=X+iY, Z2=X-iY называются сопряженными.

Всякое комплексное число можно изобразить точкой. Например M(x,y) плоскости oxy такой, что x – действительная часть (Rez), у мнимая часть (Imz).

Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей. Т.е. если a+bi=c+di, то a=c, b=d и обратно, если a=c, b=d, то a+bi=c+di.

Правило сложения и вычитания комплексных чисел Z1+Z2=(X1+X2)+(Y1+Y2)

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле Z1-Z2=(X1-X2)+(Y1-Y2)

Правило умножения комплексных чисел Z1*Z2=(X1X2-Y1Y2)+(X1X2+Y1Y2). В тригонометрической форме: z1*z2=r1r2(cos(фи1+фи2)+isin(фи1+фи2)).

Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число.

Деление комплексного числа a+bi на комплексное число c+di, не равных нулю, определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле z1/z2=r1/r2(cos(фи1-фи2)+isin(фи1-фи2))

Вопрос 6 (Матрицы. Операции над матрицами)

m строк, n столбцов

А = = а_ij i=1,2…m, j=1,2…n

Виды матриц:

Квадратичная n=m Прямоугольная n≠m Матрица-вектор n=1 или m=1 Матрица из одного элемента Диагональная - все элементы, кроме главной диагонали =0

Единичная (Е) – диагональная и все элементы главной диагонали =1

Нулевая – все элементы =0 Треугольная – квадратичная все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали =0 Матрицы равны, если равны их размеры и их соответствующие элементы равны Транспонированная (А^t , А^Т, А^ǀ) – матрица, полученная из А, заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером Противоположная – все элементы соответственно равны по модулю, но имеют разные знаки Коммутативные/перестановочные матрицы AB=BA Симметричные матрицы А=А^t Действия над матрицами:

Сложение/вычитание (только для матриц с одинаковых размеров): А_mxn+B_mxn=C_mxn элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матриц с_ij=a_ij+в_ij

Умножение матрицы на число: A_mxnxk=C_mxn c_ij=ka_ij

kA=Ak k(A+B)=kA+kB (k+f)A=kA+fA K(Af)=(kA)f=(kf)A

Умножение матриц А_mxnВ_mxp=C_mxp

=

AB≠BA

(A+B)C=AC+BC (AB)C=A(CB)=ABC

Вопрос 7 (Определители и их свойства)

Определитель/детерминант матрицы =detA=∆=

Порядок определителя - количество строк/столбцов в определителе (наименьший порядок 2)

Определитель 2-ого порядка задается равенством: = a11a22 - a21a12

Определитель 3-его порядка: = а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а31а22а13-а32а23а11-а21а12а33

Определитель n-ого порядка = Σ(+/-a1i₁a2i₂…ani_n)

Методы вычисления определителей 3-его порядка

Метод треугольника = а1в2с3+а2в3с1+а3в1с2-а1в2с1-в1а2с3-в3с2а1

Правило Саррюса = в2а1с3+а2в3с1+а3в1с2-с1в2а3-с2в3а1-с3в1а2

Вычисление определителей n-ого порядка:

∆= = (-1)¹⁺¹а11М11+(-1)¹⁺²а12М12+…+(-1)^n-1 а1nМ1n = (-1)¹⁺¹а11 + (-1)¹⁺²а12 +…

Где Мij – определитель (минор) n-ого порядка, полученный вычеркиванием i строки из j столбца

Минор некоторого элемента ij определителя n-ого порядка называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Алгебраическое дополнение (Аij) элемента аij определителя называется его минор взятый со знаком «+», если i+j четное; знаком «-», если нечетное А_ij=(-1)^i+jМ_ij

Свойства определителей

Значение определителя не меняется, если его строки заменить столбцами и наоборот

При перестановке 2-х параллельных рядов определитель меняет знак

Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда =0

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя

Из свойств 3 и 4следует, что если все элементы какого-либо ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель =0

Если все элементы некоторого ряда есть сумма равного числа слагаемых, то определитель может быть представлен суммой определителей, в которых элементы указанного ряда записываются отдельными слагаемыми

Определитель не изменяется, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число

Если определитель имеет нулевой ряд, то он =0

Сумма произведений какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда =0