7.2 Теоремы подобия

Основу методики применения теории подобия для глубокого анализа процессов и получения экспериментально обоснованных расчетных формул составляют системы теорем подобия, которые позволяют получить ответы на важнейшие вопросы практики применения этой теории:

-какие величины необходимо измерять в эксперименте?

-как обрабатывать результаты эксперимента?

-какие явления подобны изучаемому или, другими словами, как построить модель, подобную изучаемому объекту?

На первый вопрос отвечает первая теорема подобия, сформулированная И.Ньютоном: подобные между собой явления имеют численно равные критерии подобия.

Безразмерные критерии подобия бывают двух видов: критерии-комплексы, состоящие из различных физических и геометрических величин, и критерии-симплексы, состоящие из одноименных величин.

Рассмотрим некоторые критерии подобия. Критерий Ньютона - основной критерий, определяющий полное динамическое подобие из условия (F = m×j)

.

Критерий Ньютона можно представить и в другом виде:

.

Используем критерий Ньютона для вывода критерия Рейнольдса. Допустим, что доминирующими являются силы вязкости.

F = или F = .

Подставим F в формулу критерия Ньютона и получим:

.

Обозначив dn/dU ≈ kL/V, a S×L = W, получим:

.

Т.к. k=const, то его можно опустить. В результате получим:

.

Критерий Рейнольдса является мерой отношения сил инерции к силам трения. Аналогично могут быть выведены и другие критерии (Фруда, Эйлера, Вебера и т.п.)

В общем случае течение жидкости может быть полностью описано некоторой замкнутой системой уравнений, краевыми и начальными условиями. Оно полностью определяется условиями (условиями однозначности), к которым относятся геометрия потока, основные физические характеристики жидкости, начальные условия, условия на границе потока.

Безразмерные критерии, состоящие из условий однозначности, называются определяющими критериями, остальные являются неопределяющими.

Вторая теорема подобия отвечает на вопрос о том каким образом следует обрабатывать результаты экспериментов, для того, чтобы они носили обобщенный характер и могли быть использованы для широкого круга явлений.

Она сформулирована Федерманом - Букингемом: любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление, может быть представлена в виде зависимости между соответствующими критериями.

Это так называемый метод анализа размерностей, а теорема также носит название Пи-теоремы.

Предположим, что некоторая переменная величина A₁ зависит от А₂,А₃,……,A_n (независимых переменных), участвующих в физическом явлении и больше ни от каких других переменных не зависит.

А₁ = f(А_2, А₃,……,A_n)

или φ(π₁, π₂, π₃,……. π_n).

Пусть число основных размерных единиц, через которые могут быть выражены n переменных, равно m.

Тогда число критериев, необходимых для описания процесса в обобщенном виде, отвечающем π- теореме

π = n-m

В рассматриваемых в гидромеханике задачах, число таких переменных, входящих в π- члены, должно равняться 4. Три из них (определяющие) входят в каждый из π- членов и только одна (четвертая) заменяется другой при переходе от члена к члену.

π₁= A₁^X1×A₂^Yl×A₃^zl×A₄^-1,

π₂= A₁^X2×A₂^Y2×A₃^z2×A₅^-1,

π₃= A₁^X3×A₂^Y3×A₃^z3×A₆^-1,

………………………………

π_n-3= A₁^X(n-3)×A₂^Y(n-3)×A₃^z(n-3)×A_n^-1.

Пояснение: X1-это X₁, Х(n-З)- это Х_n-3 - т.е. с соответствующими индексами.

Если выразить входящие в π- члены переменные через основные независимые переменные, то поскольку они являются безразмерными, показатели степени каждой из основных размерностей должны быть обязательно равны нулю.

Поэтому для всех π- членов можно составить три уравнения, связывающие показатели степени входящих в них переменных. Определим отсюда X, Y, Z и конкретизируем π- члены.

Покажем применение π- теоремы на примере. Известно, что потери давления в трубопроводе и, следовательно, потери напора зависят от следующих факторов:

-геометрических характеристик трубопровода (диаметра d, длины L, шероховатости стенок Δ),

-физических свойств жидкости (плотности ρ, динамической вязкости η, начального напряжения сдвига τ₀),

-средней скорости течения V.

Общую функциональную зависимость, связывающую все эти величины, представим уравнением:

Δp =f(d, L, ρ, V, η, τ₀, Δ),

которое можно преобразовать к виду

φ(Δp/L, d, ρ, V, η, τ₀, Δ) = 0.

Следуя π- теореме получим уравнение, состоящее из (n-m) = 4 безразмерных членов (n=7 число переменных, m=3 число основных размерных единиц).

Как было указано выше, каждый π- член должен содержать четыре переменных величины. Принимая в качестве определяющих переменных диаметр трубопровода d, среднюю скорость течения жидкости V и ее плотность ρ и комбинируя поочередно с остальными переменными находим значение этих членов:

π₁= d^X1*V^Yl*ρ^zl*η^-1,

π₂= d^X2*V^Y2*ρ^z2* τ₀^-1,

π₃= d^X3*V^Y3*ρ^z3* Δ^-1,

π₄= d^X4*V^Y4*ρ^z4* (Δp/L)^-1.

Далее составим уравнения размерностей для каждого из этих π- членов, имея ввиду обязательное условие их размерной однородности. Например, для первого π- члена будем иметь:

π₁ = L^X1×(L/t)^Y1×(m/L³)^Zl×(m/Lt)^-1 = L^{X1+Y1-3(Z1)+1}×t^-Y1+1×m^Z1-1 = L⁰×t⁰×m⁰,

где: L - единица длины,

t - единица времени,

m - единица массы.

Составим соответствующие уравнения для размерности длины, времени, массы и, решив систему совместно, получим:

X₁+Y₁-3Z₁+l=0,

-Y₁+l=0,

Z₁-l=0,

откуда: X₁ = 1, Y₁= 1, Z₁ =1.

Подставив эти значения показателей степеней в выражение для первого π-члена найдем:

π₁ = d×V×ρ/η (первый член - аналог числа Рейнольдса Re).

Аналогично могут быть определены и остальные л-члены.

Теорема имеет широкое применение. Пользуясь Пи-теоремой, удается определить структуру формул, описывающих данное движение жидкости, правильно организовать экспериментальные работы и т.д.

Необходимость и достаточность условий подобия процессов формулируется третьей теоремой подобия (теорема Кирпичева-Гухмана): подобны те явления, которые описываются одной и той же системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности.

Следовательно, физически подобны те явления, которые принадлежат к одному и тому же классу и входят в одну и ту же группу явлений, отличающихся только масштабом физических величин.

Условия однозначности включают следующие необходимые данные:

а) сведения о геометрических свойствах системы (конфигурация и размеры);

б) данные о физических свойствах (вязкость, плотность и т.п.);

в) граничные условия;

г) временные условия (в начале и конце процесса).