6.2 Истечение через малые отверстия в тонкой стенке Истечение в атмосферу

Предположим, что есть резервуар в боковой стенке которого выполнено малое отверстие (рис. 61). Уровень жидкости в резервуаре будем считать постоянным. Проведем плоскость сравнения через центр тяжести сжатого сечения и выберем два расчетных сечения: 1-1 по свободной поверхности жидкости и С-С в сжатом сечении.

Рисунок 61 - Схема истечения из отверстия.

Составим уравнение Бернулли для этих двух сечений.

,

где: Н - напор над центром тяжести отверстия,

Р_а - атмосферное давление,

V - скорость на свободной поверхности жидкости,

V_c - в сжатом сечении струи,

α- коэффициент Кориолиса,

ξ- коэффициент местного сопротивления.

Обозначим через Н_о полный напор в сечении 1-1, тогда уравнение примет вид:

, где .

Отсюда найдем выражение для средней скорости в сжатом сечении:

или V_c=φ ,

так как Н ≈ Но , а V₁≈0. A φ= - коэффициент скорости.

Коэффициент скорости представляет собой отношение действительной скорости истечения V_c к скорости истечения идеальной жидкости :

.

При истечении через отверстия или короткие насадки можно считать, что потеря напора состоит только из местных потерь, а потери на трение отсутствуют.

Определим расход жидкости через отверстие из уравнения неразрывности:

Q = V_cхω_с = ωεφ , с учетом того, что ω_с= ωε

где ω_с- площадь сжатого сечения струи,

ω - площадь сечения отверстия,

ε - коэффициент сжатия струи равный ω_с/ω.

Коэффициент сжатия характеризует степень сжатия струи. Обозначим коэффициент расхода μ=εφ, тогда окончательную формулу расхода жидкости через отверстие можно представить в виде:

Q=μω .

Коэффициент расхода характеризует отношение действительного расхода Q к расходу идеальной жидкости Q_ид=ω :

μ=Q/ω .

Для малых отверстий в тонкой стенке с совершенным сжатием коэффициент расхода μ≈0,6-0,62.

Однако, необходимо отметить, что коэффициенты расхода, сжатия и скорости зависят от режима истечения (числа Рейнольдса), результаты исследований А.Д. Альтшуля представлены на рисунке 62.

Рисунок 62 - Зависимость μ, φ, ε от Re

Истечение через затопленное отверстие

При истечении из отверстия в тонкой стенке под уровень, в области выхода образуется сжатое сечение С-С, в котором распределение давления подчиняется гидростатическому закону. Напишем уравнение Бернулли, предполагая установившееся движение.

.

Пренебрегая членом αV²₁/2g ввиду его малости и, определяя давление Р_c как Р_c = Р_a + pgH₂, получим :

H₁=H₂+(α+ξ)V²_c/2g или (α+ξ)V²_c/2g= H₁-H_2.

Следовательно, скорость в сжатом сечении С-С будет равна:

V_c= .

Формула расхода при истечении через затопленное отверстие будет иметь вид:

Q = V_c хω = ωεφ = ωμ .

Формула аналогична формуле для незатопленного отверстия. Установлено, что коэффициент расхода также мало отличается (на 2-3%) от коэффициента расхода при истечении через незатопленное отверстие.

6.3 Истечение через насадки

При значительной толщине стенки характер явлений, наблюдаемых при истечении, существенно меняется из-за влияния, оказываемого на струю толстой стенкой.

Насадком называется короткий патрубок герметически присоединенный к отверстию в тонкой стенке, длина которого в несколько раз больше внутреннего диаметра (обычно L=3÷5d). Струя жидкости после выхода из сосуда подвергается некоторому сжатию, но затем постепенно расширяется и заполняет все поперечное сечение насадка. Т.е. сжатие происходит только внутри насадка, поэтому при расчете истечения через насадки необходимо учитывать, что коэффициент сжатия ε=1, а, следовательно, коэффициент расхода равен коэффициенту скорости μ=φ.

Рисунок 63 - Истечение через насадок.

Определим расход через цилиндрический насадок (рис 63). Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и С-С относительно плоскости сравнения 0-0, проходящей через центр тяжести поперечного сечения насадка:

.

,

где Hо=Н+αV²/2g,

h_вак - вакуумметрическая высота в сжатом сечении внутри насадка.

Тогда скорость в сжатом сечении можно определить по формуле:

.

Расход жидкости, проходящий через насадок можно рассчитать:

Q = V_cхω_с=ωεφ = ωμ ,

но h_вак = 0,75 Н₀ , и тогда, подставив это значение в предыдущую формулу, получим:

Q = ωμ = ωμ .

Сопоставляя полученную зависимость с формулой для расхода через малое отверстие в тонкой стенке, отметим, что пропускная способность насадка по сравнению с малым отверстием увеличивается на 33%. Это объясняется наличием вакуума в сжатом сечении внутри насадка, что заставляет жидкость «всасываться» в насадок.

Из равенства h_вак = 0,75 Н₀ видно, что в конечном счете вакуум зависит от напора над центром тяжести поперечного сечения насадка. В частном случае при истечении воды предельное значение вакуума h_вак = 10,33 м вод. ст., что соответствует наибольшему возможному напору воды Н₀ ≈ 13,7 м. При больших напорах в насадке возможен разрыв струи и насадок перестанет работать полным сечением, струя не будет касаться стенок насадка, вакуум в нем не образуется, что приведет к снижению расхода.