1.2 Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера)
Рассмотрим равновесие
жидкости (рис.11). Возьмем точку
и выделим около нее параллелепипед со
сторонами
,
,
.
Обозначим внешние силы, отнесенные к
единице массы через
.
Внешними силами здесь будут:
- объемные, пропорциональные массе параллелепипеда;
-
силы гидростатического давления,
действующие на грани параллелепипеда
со стороны окружающей жидкости.
Рисунок 11 – К выводу уравнений Эйлера
Рассмотрим сначала силы, действующие на жидкий параллелепипед по оси X.
Проекция объемных сил
на ось X
будет равна:
;
Следовательно, проекции объемных сил на все оси:
Гидростатическое давление
в точке В обозначим
,
а в точке С - через
.
Если давление изменяется по линейному
закону и непрерывно, тогда:
;
где
- градиент гидростатического давления;
Р - давление в точке А.
Силы, действующие на грани равны:
;
Составим уравнение равновесия исследуемого нами жидкого объема относительно оси X:
Уравнение равновесия после подстановки и преобразования сможем записать в виде:
Окончательно уравнение равновесия относительно оси X будет иметь вид:
Аналогично получим уравнение равновесия относительно осей Y и Z и запишем полную систему уравнений, которые называются уравнениями Эйлера.
Впервые они были выведены в 1775 г. и выражают закон распределения гидростатического давления в дифференциальной форме.
Для дальнейшего преобразования, умножим каждое из уравнений системы на , , , соответственно
а, сложив их почленно, получим следующее выражение:
.
Левая часть представляет
полный дифференциал давления
функции
.
А т.к. левая часть - полный дифференциал
функции, то и правая тоже. Только в этом
случае уравнение может иметь смысл. Для
этого необходимо, чтобы существовала
функция
,
производные которой были равны:
; 
; 
.
Функция
и обратная ей функция
называются
потенциальными. Следовательно, поле
массовых сил потенциальное
или
,
где функция
выражает потенциальную энергию поля
массовых сил (сил тяжести и инерции).
Интегрируя функцию для несжимаемой жидкости, получаем:
или
,
где С - постоянная интегрирования.
Для двух точек одного и того же объема данной однородной несжимаемой жидкости уравнение записывается в виде:
.
Дадим определение поверхности
равного давления: это
поверхность, проведенная в покоящейся
жидкости таким образом, что давление
во всех ее точках одинаково, т.е.
.
Поверхности равного давления обладают
следующими основными свойствами:
-построенные для различных гидростатических давлений, они не имеют общих точек, т.е. не пересекаются;
-всегда нормальны к направлению равнодействующей внешних объемных сил, приложенных к жидкости.
1.3 Основное уравнение гидростатики
Рассмотрим наиболее важный
для практики частный случай равновесия
жидкости, находящейся под действием
только сил тяжести. Давление на поверхности
будем считать известным и равным
,
отличным от атмосферного (рис. 12).
Так как на жидкость действует только сила тяжести то:
(ускорения по осям X
и Y
отсутствуют, а то оси Z,
ускорение свободного падения направлено
вниз, поэтому
).
Подставим X, Y, Z в уравнения Эйлера (первые два уравнения обращаются в нуль) и получим:
.
После интегрирования
.
Для вычисления постоянной
интегрирования С,
подставив граничные условия
и получим её значение:
а подставив С в полученное выше уравнение, запишем:
.
Уравнение выражает закон
сохранения энергии в
покоящейся жидкости.
Сумма удельной
потенциальной энергии положения Z
и удельной потенциальной энергии
давления
есть величина постоянная
во всех точках данной покоящейся
жидкости.
Рисунок 12 – К основному уравнению гидростатики.
Окончательно получим
.
А если учесть, что
,
то
,
где: h - глубина погружения точки в жидкости.
Это уравнение выражает закон Паскаля: давление, возникающее на граничной поверхности жидкости передается всем частицам жидкости по всем направлениям и без изменения.
Закон Паскаля используется при проектировании гидростатических машин, например, гидравлического пресса.