Тема 3. Сложная процентная ставка

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, т.е. база, с которой происходит начисление, посто­янно возрастает на величину начисленных ранее процентов. Оче­видно, что более частое начисление сложных процентов обеспечи­вает более быстрый рост наращиваемой суммы.

Для кредитора более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода); более выгодна схема сложных процентов, если срок суды превышает один год (проценты начисляются ежегодно); обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

При начислении процентов за дробное число лет может использоваться схема сложных процентов, либо смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процен­тов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года.

Математическим дисконтированием (дисконтированием по сложной процентной ставке) называется задача нахождения такой величины первоначального капитала, которая через заданное количество времени при наращении по сложной процентной ставке обеспечит получение планируемой суммы.

Основные формулы раздела

F=P (1 + r)ⁿ; (3.1)

P = F / (1 + r)ⁿ; (3.2)

r=(F/P)^1/n–1; (3.3)

(3.4)

F = P (1 + r/m)^nm; (3.5)

F=P(1+r/m)^w+f; (3.6)

F=P(1+r/m)^w(1+fr/m), (3.7)

где F – наращенная сумма;

P – вложенная сумма;

n – количество лет;

r – сложная процентная ставка;

t – продолжительность финансовой операции в днях;

T – количество дней в году;

m – количество начислений процентов в году;

w – целая часть периода финансовой операции;

f – дробная часть периода финансовой операции.

Типовые задачи с решениями

Задача 1

На вашем счёте в банке 120 тыс. руб. Банк платит 12,5 % годовых. Вам предлагают войти всем капиталом в организацию совместного предприятия, обещая удвоение капитала через 5 лет. Принимать ли это предложение?

Решение

Для решения задачи используем формулу (3.1.):

Если мы вложим деньги в банк, то через 5 лет получим следующую сумму:

F = 120 тыс.руб.(1 + 0,125)⁵ = 366 тыс.руб.

Если мы войдем всем капиталом в организацию совместного предприятия, то наш капитал удвоится:

F = 120 тыс.руб.  2 = 240 тыс.руб.

Следует вложить деньги в банк, так как в этом случае мы получим большее приращение капитала.

Задача 2

Вы имеете 20 тыс. руб. и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально приемлемое значение процентной ставки?

Решение

Для решения данной задачи используем формулу (3.2):

r=(220 тыс.руб/ 20 тыс.руб)^1/5–1=14,9%.

Таким образом, минимальное приемлемое значение процентной ставки составляет 14,9%.

Задача 3

Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 20 тыс. руб. при размещении её в банке на условиях начисления: а) простых и б) сложных процентов, если годовая ставка 15%, а периоды наращения 90 дней, 180 дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.

Решение

Для решения задачи используем формулы (1.3) и (3.4).

При простых процентах:

• период наращения 90 дней: F= 20 тыс. руб. (1 + 0,1590/360) = =20750 руб.

• период наращения 180 дней: F= 20 тыс. руб. (1 + 0,15180/360)= =21500 руб.

• период наращения 1 год: F = 20 тыс. руб. (1 +0,15  1) = 23 тыс.руб.

• период наращения 5 лет: F = 20 тыс. руб. (1 +0,15  5) = 35 тыс.руб.

• период наращения 10 лет: F = 20 тыс. руб. (1 + 0,15 10) = 50 тыс.руб.

При сложных процентах:

• период наращения 90 дней: F = 20 тыс. руб. (1 + 0,15)^90/360 = 20711 руб.

• период наращения 180 дней: F = 20 тыс. руб. (1+ 0,15)^180/360 = 21448 руб.

• период наращения 1 год: F = 20 тыс. руб. (1 + 0,15)¹ = 23 тыс.руб.

• период наращения 5 лет: F = 20 тыс. руб. (1 + 0,15)⁵ = 40227 руб.

• период наращения 10 лет: F = 20 тыс. руб. (1 + 0,15)¹⁰ = 80911 руб.

Задача 4

Через 4 года ваш сын будет поступать в университет на коммерческой основе. Плата за весь срок обучения составит 5600 долл., если внести её в момент поступления в университет. Вы располагаете в данный момент суммой в 4000 долл. Под какую минимальную процентную ставку нужно положить деньги в банк, чтобы накопить требуемую сумму?