Задача 6

Какую сумму необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 36% годовых, чтобы в течение 6 лет иметь возможность в конце каждого года снимать со счета 8 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежемесячно?

Решение

Для ответа на поставленный вопрос во всех случаях необходимо определить приведенную стоимость аннуитета постнумерандо при А=8 тыс. руб., n=6.

а) полагая r=36%, по формуле (8.2) находим:

PV=8FM4(35%,6)=82,3388=18710 тыс. руб.

б) используем формулу (8.4) при m=12, р=1, получим

PV=8FM4(3%,72)/FM3(3%,12)=8(29,3651/14,1920)=16553 тыс. руб.

Задача 7

Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой 10 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты будут осуществляться: а) через 3 года; б) немедленно, а сложная процентная ставка равна 4% годовых?

Решение

а) используем формулу (8.7), считая полугодие базовым периодом, при h=6:

PV=10FM2(2%,6)FM4(2%,30)=100,88822,3965=198881 руб.

б) используем формулу (8.2), считая полугодие базовым периодом:

PV=10FM4(2%, 30)=1022,3965=223965 руб.

Задача 8

Работник заключает с фирмой контракт, согласно которому в случае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 65 лет) фирма обязуется перечислять в конце каждого года в течение 25 лет на счет работника в банке одинаковые суммы, которые обеспечат работнику после выхода на пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в размере 8000 руб. в течение 18 лет. Какую сумму ежегодно должна перечислять фирма, если работнику 40 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 20% ?

Решение

Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо с А=8000 руб. и длительностью n=18 лет. Полагая r=20%, по формуле (8.2) найдем приведенную стоимость этого аннуитета:

PV=8000FM4(20%,18)=80004,8122=38497 руб.

Полученная величина – необходимая будущая стоимость ежегодных вкладов фирмы на счет работника. Поэтому размер вклада можно найти из формулы (8.1), полагая FV=38497:

A=38497/FM3(20%,25)=38497/417,9811=81,57 руб.

Таким образом, фирме достаточно перечислять на счет работника 81 руб. 57 коп.

Задача 9

Фирме предложено инвестировать 200 млн. руб. на срок 4 года при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 50 млн. руб.); по истечении четырех лет будет выплачено дополнительное вознаграждение в размере 80 млн. руб. Примет ли она это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 18% годовых?

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся следующей формулой для определения будущей стоимости 200 млн.руб.

FV=PV(1+r)ⁿ.

Таким образом, будущая стоимость 200 млн. руб. будет равна 387,76 млн. руб., если инвестор депонирует эти деньги в банк. Если же он их инвестирует, то фирма получит сумму, рассчитанную по формуле (8.1) с А=50 млн. руб., n=4; r=18% плюс единовременное получение 80 млн. руб.:

FV=50FM3(18%,4)+80=505,2154+80=340,77 млн. руб.

Отсюда видно, что фирме более выгодно инвестировать деньги.

Задача 10

Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 350 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 60 тыс. руб. в банк под 28% годовых. Найти срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты а) ежегодно; б) по полугодиям.

Решение

а) выразим n из формулы (8.1):

FV=350, A=60, r=28%, поэтому:

года.

б) найдем срок, подставляя в формулу (8.3) значения всех известных параметров, и выразим n, учитывая, что p=1, m=2:

Таким образом, n= 3,857 года.