25.Шардың қозғалыс теңдеуін көрсетіңіз және түсіндірме беріңіз.

Шарға әсер етуші күшті қарастырайық. Шарды еркін ұшуға жібере сала, оған еркін көтерілу күшінен басқа ауаның қарсы күші R әсер ете бастайды. Оны (R) тәжерибелік мәліметтер негізінде былайша жазуға болады: R = c · δ · S · W² (1). Мұнда, с – аэродинамикалық коэффицент; R- Рейнольдс саны; δ – ауаның массалық тығыздығы, ол ρ/g тең, ал g – ауырлық күшінің жылдамдығы, м/с²; S – кесіндінің жоғары ауданына тең шардың сипаттамалық кесіндісі: S = π D² / 4. Мұндағы: D – шар диаметрі; W – шардың вертикальді жылдамдығы; R = k · ρ · D² · W² (2). Мұндағы, k = c π / 4 g (3). k - бұл барлық константтарды біріктіретін коэффицент. Қозғалыс теңдеуі келесі түрде жазылады: m · d W / d t = A – R (4). Мұнда, m – шардың сыртқы материялы мен оған толтырылған газдың массасы; R – ауаның қарсылық күші, яғни Рейнольдс саны; A – еркін көтеру күші. Ұшақ – шардың вертикальды жылдамдығына қатысты мәндерді анықтау үшін жоғарыдағы теңдеулерді түрлендіреміз және шардың ветрикальды жылдамдығын нақтырақ анықтауға тырысамыз: m · d W / d t = A – k · ρ · D² · W² (5). Негізгі жазылған (5) теңдеуден келесідей дифференциалды теңдеу алуымызға болады: m · (d W/ dZ) * ( dZ/ d t) = A – k · ρ · D² · W² (6). dZ/ d t= W түрлендіріп, d W²=2 W d W екендігін ескеріп жазамыз: m/2 · (d W² / dZ) = A – k · ρ · D² · W² (7). Содан, (d W² / dZ) + 2* (k · ρ · D² / m )* W² – 2 А/ m=0 (8). Алынған дифференциялды теңдеу алмастыру әдісін шешу үшін қабылданған. W² =у деп аламыз және келесі түрде жазамыз: (d у / dZ) + 2* (k · ρ · D² / m )* у – 2 А/ m=0 (9). Бұл теңдеудің шешімі келесі түрде жазылады: y=e ^{(- 2·k · ρ · D2 / m)·Z} ·2A/m [m / 2· k · ρ · D² * (e ^{(- 2·k · ρ · D2 / m)·Z} – 1)] (10). у –ді W²-қа алмастырып, келесі қысқарған теңдеуді аламыз:

W²=A/ k · ρ · D²* (1 - е^{(- 2·k · ρ · D2 / m)·Z}) (11). Бұдан, W=√A/ √k · ρ · D²* (√1 - е^{(- 2·k · ρ · D2 / m)·Z}) (12). Бұл жағдайда біз ұшақ – шардың вертикальді жылдамдығы қандай параметрлерге және қандай жағдайларға бағынышты екендігін көрсететін теңдеуді алдық. Шарды ұшыру кезеңінің алғашқы уақытында шардың жылдам қозғалатыны анық. Бұл жағдайда е^{(- 2·k · ρ · D2 / m)·Z} мүшесі нөлге жақындайды және шардың қандай биіктікке дейін жылдамдығының жоғары болатынын бағалауға практикалық қызығушылық туғызады. Қандай биіктікте бұл мүшенің 0,01 – ге тең екендігін , яғни 0 – ге жақын екендігін бағалайық: e ^{(- 2·k · ρ · D2 / m)·Z} = 0,01 (13). Содан, ( 2·k · ρ · D² / m)·Z lg е= 2 (14). (2·k · ρ · D² / m)·Z = 4,6 (15). Осы жерден Z табамыз: Z=4,6 m/2·k · ρ · D² (16). Осы теңдеуге сәйкес орташа өлшемді ұшақ – шар үшін (сыртқы қабығы №20) параметрлерді қолданайық: D = 80 см; m = 70 гр; сонымен қатар, ρ = 0,0013*98 г/см² с²; к = 0,0003 с/см және Z = 70 см ≈1м болатынын көреміз. Демек, 1 м биіктікте ұшақ – шардың қозғалысының жылдамдығы тоқтайды және оның вертикальды жылдамдығы тұрақты болып қалады. Сондықтан бұл теңдеуді қарапайым түрде жазуға болады: W=(1 / √k) ·(√A / D √ρ) (17). Еркін көтерілу күшінің А өсуімен вертикальды жылдамдық та өседі, бірақ, √A пропорционалды, яғни, егер А төрт рет өссе, осы шар размерлерінде W 2 рет өседі. Шардың вертикальды жылдамдығы шар диаметріне кері пропорционалды. Тәжерибеде қаншалықты шардың диаметрін ұлғайтпай тұрып, еркін көтерілу күшін ұлғайту мүмкін болмаса, онда бірдей өлшемдегі біртекті толтырылған ұшақ – шарлар үшін вертикальды жылдамдықтарының салыстырмалы аз мәнді айырмашылықтарының болатынын күтуге болады. Бір немесе басқа да метеожағдайларда олар А және D аралығындағы сызықты тәуелділіктен және сыртқы қабықтарының салмақтарының айырмашылықтары есебінен бір – бірінен ажыратылады. Метеожағдай вертикальды жылдамдыққа тығыздық ρ арқылы әсер етеді, яғни жердің температурасы мен қысымы да әсер етеді. Қаншалықты вертикальды жылдамдық W - √k – ға кері пропорционалды болса, онда әсер ету диапазондары да шектеулі. Демек, вертикальды жылдамдық W - √k – ға кері пропорционалды болса, онда (12) - теңдеудегі тұрақты болып қалмайтын аэродинамикалық коэффицент с оның құрамына жатады. Оның әсерін біз жеке қарастыратын боламыз.