Іv. Введение в анализ

Пусть каждому поставлено в соответствие некоторое действительное число: , то есть рассматривается функция натурального аргумента. В этом случае говорят, что задана последовательность вещественных чисел, которую записывают в строчку в порядке возрастания номеров:

или кратко:

Определение:

Число называется пределом последовательности , если для любого числа существует число такое, что при всех выполняется неравенство: .

Или кратко:

.

Обозначение: .

На геометрическом языке определение предела означает, что вне любой – окрестности точки содержится разве лишь конечное число членов последовательности . Это число, разумеется, зависит от .

Если последовательность имеет предел, то говорят что она сходится, в противном случае она расходится.

Если , то величина называется бесконечно малой. Величина, обратная бесконечно малой является бесконечно большой; обозначение: .

Свойства.

1. Алгебраическая сумма двух и более бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

1. Понятие предела функции, свойства.

Пусть функция задана на интервале , исключая возможно точку .

Определение:

Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое, что при всех , удовлетворяющих условию выполнено: .

Или кратко:

.

На геометрическом языке это определение означает, что – окрестности точки - окрестность точки такая, что образ проколотой – окрестности точки при отображении лежит в – окрестности точки .

Под проколотой - окрестностью точки понимают интервал , исключая саму точку , т.е. .

Определение:

Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если выполнено: .

Обозначение:

• (для левостороннего предела);

• (для правостороннего предела).

Практическое вычисление пределов основано на следующих теоремах:

1. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правый и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

2. Арифметические действия над пределами:

Если и , то справедливы утверждения:

• ;

• ;

• , при условии, что .

3. Первый замечательный предел:

. (4.1)

4. Второй замечательный предел:

или . (4.2)