I. Элементы линейной алгебры Матрицы и определители

1. Основные сведения о матрицах

Определение:

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Виды матриц: матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) – строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором) – столбцом. – матрица-строка. – матрица-столбец.

Матрица называется квадратичной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .

Нулевой матрицей – называется квадратная матрица, элементы которой равны нулю.

Диагональной матрицей – называется матрица, элементы которой вне главной диагонали равны нулю.

Единичной матрицей – называется квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равна единице, а остальные – нулю.

1.2. Операции над матрицами.

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой .

Например: если , то

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

2. Сложение матриц.

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой .

, , .

3. Вычитание матриц.

Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:

.

4) Умножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Пример. Вычислить произведение матриц , где

; .

Решение.

1. Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):

.

2. Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами:

а) свойства сложения матриц:

;

;

.

б) свойства умножения матриц:

;

;

;

.

Однако имеются и специфические свойства матриц.

, т.е. коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется.

5. Возведение в степень.

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных , т.е.

.

Замечание: эта операция определяется только для квадратичных матриц.

5. Транспонирование матриц.

Переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Например: .

Свойства операции транспонирования:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

1.3. Определители квадратных матриц

Определитель матрицы обозначается или . Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

(1.1)

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется одним из трех способов:

І способ: Правило треугольников или правило Сарруса:

На этом рисунке указано правило вычисления членов, учитываемых со своим знаком, а также правило вычисления членов с обратным знаком. Определитель будет равен алгебраической сумме всех произведений, то есть:

(1.2)

ІI способ – это способ вычисления определителей третьего порядка, заключающийся в дописывании первых двух столбцов, в нахождении произведений по главной диагонали и параллелях к ней и по обычной диагонали и параллелях к ней. То есть:

ІІІ способ – с помощью разложения по строке или столбцу.

Необходимо ввести следующие определения:

1. Минором элемента матрицы -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.

2. Алгебраическим дополнением элемента матрицы -го порядка называется его минор, взятый со знаком :

,

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда – нечетное число.

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на их алгебраические дополнения.

Например, для столбцов этот способ нахождения определителя имеет вид:

, (1.3)

эта формула называется разложением определителя по элементам -го столбца.

Пример:

Таким образом, применяя формулу (1.3), мы сводим вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.