6.3. Основные методы интегрирования
Основными методами интегрирования являются непосредственное интегрирование при помощи основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов, метод подстановки (замены переменной) и интегрирование по частям.
Метод непосредственного интегрирования рассмотрим на примерах
Примеры:
.
.
Метод подстановки
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла или интеграла, берущегося тем или иным изветсным приемом. Такой метод называется методом подстановки, а также методом замены переменной.
Рассмотрим функцию , где , то:
(6.1)
Формула (6.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
После
нахождения интеграла
надо вместо
подставить его выражение через
.
В некоторых примерах метод подстановки может быть заменен непосредственным интегрированием.
Примеры.
.
Обозначим
,
тогда
и, следовательно,
.
.
.
.
В приведенных выше примерах метод замены переменной быстро привел к цели. Однако удачный выбор новой переменной обычно представляет известные трудности. Для их успешного преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования, уметь «прикидывать», что даст та или иная подстановка, и твердо знать табличные интервалы.
Интегрирование по частям
Пусть
функции
и
непрерывно дифференцируемы на некотором
промежутке.
Интегрируя тождество
,
получим
,
т.е.
откуда следует, что
(6.2)
Формулу (6.2) обычно записывают в виде:
(6.2*)
Эта
формула называется формулой интегрирования
по частям. Правильнее было бы назвать
ее формулой частичного интегрирования.
При известных
и
она сводит нахождение интеграла от
после частичного интегрирования к
нахождению интеграла от
.
Иногда удается функции
и
выбрать так, что новый интеграл либо
сам является табличным, либо сводится
к табличным интегралам уже известными
методами.
При
этом следует учитывать, что за
принимается функция, которая
дифференцированием упрощается, а за
- та часть подинтегрального выражения,
содержащая
,
интеграл от которой известен или может
быть найден.
Так,
при вычислении интегралов вида
,
,
за
следует принять многочлен
,
а за
- соответственно выражение -
,
,
.
При
вычислении интегралов вида
,
,
за
следует принять выражение
,
а за
- соответсвенно функции
,
,
.
Примеры.
.
Полагая
.
Тогда
и, значит, по формуле (6.2*).
.
.
3.
Формулу интегрирования по частям применили дважды.
4. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет вид:
Интегрирование рациональных функций
Рациональной
функцией называется дробь вида
,
где
и
- целые многочлены.
Рациональная дробь назывется правильной, если степень ниже степени , в противном случае дробь называется неправильной.
Если дробь неправильная, то путем почленного деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов следует выделить целую часть и правильную дробь. Поэтому будем рассматривать интегрирование правильных дробей, поскольку интегрирование целой части не вызывает затруднений.
Метод неопределенных коэффициентов.
Так как интегрирование многочлена не представляет трудностей, то достаточно научиться интегрировать правильные рациональные дроби. Сформулированная ниже теорема позволяет свести интегрирование любой правильной рациональной дроби к интегрированию элементарных дробей.
Теорема.
Если
- правильная рациональная дробь,
знаменатель
которой представлен в виде произведения
линейных и квадратичных множителей (с
действительными коэффициентами):
(6.3)
то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по следующей схеме:
(6.4)
где
- некоторые действительные числа.
Практически разложение конктретной правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей обычно производят методом неопределенных коэффициентов. Для этого:
разлагают знаменатель на произведение линейных и квадратичных множителей;
записывают разложение дроби по схеме (6.4) с неопрелделенными коэффициентами;
приводят элементарные дроби к общему знаменателю ;
приравнивают многочлен, получившийся в числителе, многочлену .
Для того чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях у них были равны. Учитывая это замечание, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равентсва, получая тем самым систему алгебраических уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов.
Существование такой системы вытекает из сформулированной выше теоремы.
Примеры.
Решение.
Имеем:
.
Отсюда:
(*)
а) Первый способ определения коэффициентов.
Перепишем тождество (*) в виде:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим:
.
Отсюда:
;
;
.
б) Второй способ определения коэффициентов.
Полагая
в тождестве (*), будем иметь:
,
т.е.
.
Полагая
,
получим:
,
т.е.
Далее,
полагая
,
будем иметь:
,
т.е.
.
Следовательно:
2. Найти:
Решение.
Имеем:
;
;
;
;
,
т.е.
.
Таким образом:
,
и
.
Следовательно:
3. Найти:
.
Решение.
Подинтегральная дробь правильная знаменатель разложен на простейшие множители, из которых один простой линейный, другой – кратный квадратичный. Раскладываем подинтегральную дробь на элементарные.
при
имеем
,
.
Далее найдем, что:
.
Откуда:
,
,
,
.
