Взаимное расположение двух прямых.
Если прямые заданы своими общими уравнениями и , то условием пересечения этих прямых является:
,
условием совпадения этих прямых является:
,
условием параллельности этих прямых является:
,
условием перпендикулярности этих прямых является:
.
Если известны угловые
коэффициенты прямых
и
,
то условие параллельности этих прямых
состоит в равенстве их угловых
коэффициентов:
,
а условие перпендикулярности:
,
т.е. угловые коэффициенты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Угол между двумя прямыми.
Возьмем
две прямые
и
;
уравнение
пусть будет
,
где
,
а уравнение
:
,
где
(рис. 5).
.
Рис. 5
Из
геометрических соображений устанавливаем
зависимость между углами
и
,
.
Отсюда:
,
или
.
(3.11)
Расстояние от точки до прямой.
Чтобы найти расстояние от данной точки до данной прямой, надо уравнение прямой привести к общему виду, вместо текущих координат подставить в левую часть уравнения координаты данной точки и взять абсолютную величину полученного результата.
То есть: если уравнение прямой
,
точка
имеет координаты
,
то расстояние от прямой
до точки
можно найти по формуле:
.
(3.12)
Пример №1.
В
треугольнике
,
заданном координатами своих вершин:
,
и
.
Найти: а) длину медианы
,
проведенной из вершины
;
б) длину высоты
,
опущенной из вершины
.
Решение: Сделаем схематический чертеж треугольника (рис. 6).
Рис.6
Сначала
определим координаты точки
,
как точки, делящей отрезок
пополам:
,
;
т.е.
.
Длину медианы определим по формуле расстояния между двумя точками и :
.
Далее составим уравнение
стороны
,
используя уравнение прямой, проходящей
через две точки (3.9)
и
,
а длину
определим по формуле расстояния от
точки
до прямой
(3.12):
;
;
;
.
Пример №2.
Даны
прямые
.
Найти угол между ними.
Решение:
,
.
Тогда по формуле (3.11) находим:
.
Таким образом, угол между прямыми:
.
Пример №3.
Через
точку пересечения прямых
и
проведена прямая перпендикулярно первой
из данных прямых. Найти расстояние
полученной прямой от начала координат.
Решение:
1. Находим точку пересечения прямых:
.
Следовательно
.
2. Найдем угловой
коэффициент прямой, перпендикулярной
к прямой
.
,
,
т.к.
,
то искомый угловой коэффициент
.
3.
Запишем уравнение искомой прямой:
или
;
.
Найдем расстояние полученной прямой от начала координат:
.
Пример №4.
Перевозка груза от данного города в первый пункт, находящийся на расстоянии 100 км, стоит 200 грн., а в другой, находящейся на расстоянии 400 км – стоит 350 грн. Найти стоимость перевозки на единицу расстояния и расходы, не связанные с расстоянием. Определить также стоимость перевозки груза на расстояние 875 км.
Решение.
Подставляя данные в уравнение , получим систему уравнений:
грн.,
грн. – ее решения.
Тогда стоимость перевозки на расстояние выражается уравнением:
.
В частности, стоимость перевозки на расстояние 875 км:
(грн.)