Алгоритм нахождения а-1

1. Вычислить |А|. Если |А|=0, то А^-1 не существует.

2. Если |А|¹0, то составляем матрицу из алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы А.

3. Транспонируем матрицу, полученную в пункте 2, и плучаем

4. Составляем А^-1 по вышеприведённой формуле (1).

Пример. Найти матрицу обратную данной

Решение. Будем действовать согласно алгоритму. Найдем

Сначала общий множитель третьего столбца был вынесен за знак определителя, затем к элементам второй строки были прибавлены соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-2). В результате преобразований в третьем столбце получился один ненулевой элемент, что позволило разложить определитель по элементам третьего столбца.

1. Так как , то А^-1 существует. 2)Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы А:

Составим матрицу

3). Транспонируем матрицу, полученную в предыдущем пункте и получим присоединенную матрицу =(А_ij)^Т.

=

4. Запишем матрицу А^-1:

.

Сделаем проверку

С помощью обратной матрицы можно решать простейшие матричные уравнения, где неизвестной является матрица X. Это уравнения следующего вида

AX=B, XA=B, AXC=B.

В этих уравнениях A,B,C,X – матрицы таких размеров, что все операции умножения возможны и с обеих сторон от знаков равенств находятся матрицы одинаковых размеров.

Если в первых двух уравнениях матрица А невырожденная, то их единственное решение записывается следующим образом соответственно X=A^-1B и X=BA^-1.

Если в третьем матричном уравнении матрицы А и С невырождены, то его решение записывается в виде Х=А^-1ВС^-1.

Пример. Решить систему методом обратной матрицы :

Решение. Так как , значит, матрица системы невырожденная.

Находим .

Поэтому решением системы является матрица-столбец

Ответ: .

§7. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Рассмотрим систему из -мерных векторов

(1)

Вектор называется линейной комбинацией векторов системы (1), если существуют такие числа , что

.

Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существует такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

(2)

Если равенство (2) возможно лишь в случае, если , то система (1) называется линейно независимой.

Теорема 1. а) Если среди векторов системы (1) есть нулевой вектор, то система линейно зависима.

б) Если среди векторов системы (1) имеется k (k<m) линейно зависимых, то система (1) линейно зависима.

Доказательство. а) Пусть , тогда равенство верно и . Следовательно, система (1) линейно зависима.

б) Пусть векторы линейно зависимы. Тогда из равенства , в котором хотя бы одно из чисел не равно нулю, получим равенство , которое и означает линейную зависимость системы (1).

Теорема 2. Если система векторов (1) линейно независима, то и любая её подсистема линейно независима.

Доказательство Пусть система (1) линейно независима, то равенство нулю линейной комбинации векторов системы возможно лишь при всех нулевых коэффициентах , где .

Рассмотрим некоторую подсистему системы (1): . Если бы она была линейно зависимой, то нашлись бы такие числа (из которых хотя бы одно отлично от нуля), что линейная комбинация была бы равна нулю: . Но в этом случае была бы зависимой исходная система. Так как нашёлся бы набор чисел , из которых хотя бы одно число было бы отлично от нуля, а линейная комбинация равнялась нулю . А это противоречит условию теоремы.

Теорема 3. Для того чтобы система (1) была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов линейно выражался через остальные.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы линейно зависимы, тогда , где хотя бы один из коэффициентов, например , отличен от нуля. В таком случае

, то есть представили в виде линейной комбинации, что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть, например, можно представить в виде линейной комбинации векторов системы

Отсюда и . Значит, система (1) линейно зависима. Доказательство окончено

Диагональной называется система векторов следующего вида

(3)

где предполагаются неравными нулю.

Теорема 4. Диагональная система векторов линейно независима.

Доказательство. Рассмотрим какую-нибудь линейную комбинацию системы (3) и покажем, что она равна нулю только при нулевых коэффициентах .

или

От последнего равенства перейдём к координатным равенствам.

Из первого уравнения получим, что , так как Из второго уравнения получим, что , так как , а Из последнего уравнения получим, что .

Доказательство окончено.

Единичными векторами п-мерного пространства назовём следующие векторы

Теорема 5. а) Система единичных векторов п-мерного пространства линейно независима.

б). Любой вектор п-мерного пространства является линейной комбинацией единичных векторов этого пространства.

Доказательство. а) Утверждение следует из предыдущей теоремы, поскольку система единичных векторов является диагональной.

б) Пусть произвольный вектор. Рассмотрим линейную комбинацию

Таким образом, любой вектор п-мерного векторного пространства равен сумме произведений его координат на соответствующие единичные векторы.

§8. Базис и ранг системы векторов Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая её подсистема, векторы которой линейно независимы, а любой другой вектор системы является их линейной комбинацией.

Надо отметить, что система векторов может иметь несколько базисов, причём все они содержат одинаковое число векторов.

Рангом системы векторов называется число элементов базиса, то есть максимальное число линейно независимых векторов системы.

Однако, система, состоящая более чем из п п-мерных векторов, линейно зависима. Таким образом, рассматривая системы с бесконечным числом векторов, получим, что базис любой такой системы состоит из конечного числа векторов. Значит, можно определить базис и ранг всего п-мерного пространства. Одним из базисов этого пространства является, согласно теореме 4, система единичных векторов .

Базисом п-мерного векторного пространства назовём п линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема 6. Любой вектор -мерного векторного пространства разлагается по базису этого пространства , причём единственным образом.

Доказательство. Сначала докажем существование разложения вектора по базисным векторам , т.е. существование равенства

. (4)

Рассмотрим систему векторов . Эта система линейно зависима, так как – базис. Значит, ,

иначе оказались бы линейно зависимыми первые векторов системы, что невозможно, так как это базис.

Значит,

Полагая, , получаем существование требуемого разложения.

На втором этапе докажем единственность разложения. Предположим противное. Пусть существуют два различных разложения вектора по базису , то есть

и

причём .

Вычтем почленно два последних равенства, получим

.

Отсюда, с учётом линейной независимости базисных векторов, следует . Значит, разложение для данного вектора и данного базиса существует и единственно. Доказательство окончено.

Замечание. Числа в разложении (4) называются координатами вектора в данном базисе . Один и тот же вектор в разных базисах имеет различные координаты.