§3. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

. (2)

Пусть в трёхмерном пространстве заданы векторы и с началом с началом в начале координат (рисhhHHHHHCBBBBBBB17). Построим вектор . По теореме косинусов находим , откуда . В левой части равенства, согласно определению, имеем скалярное произведение. Выразим скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов, с учетом правой части последнего равенства

, так как

получим

Вывод: скалярное произведение двух векторов, находится как сумма произведений соответствующих координат, то есть

(3)

Угол между векторами и через координаты определяется по формуле

. (4)

Теорема. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны.

Доказательство: Пусть векторы и  ортогональны, тогда треугольник, образованный векторами , и прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора имеем или

После упрощения получаем , то есть .

Докажем обратное утверждение. Пусть , но тогда из определения скалярного произведения векторов следует, что , а это и означает ортогональность векторов. Вывод: условие ортогональности двух векторов - равенство нулю скалярного произведения;

условие коллинеарности двух векторов - пропорциональность координат.

§4. -мерное векторное пространство. Отвлекаясь от геометрической природы вектора и работая лишь с координатами, убеждаемся в целесообразности обобщения понятия вектора на случай любой конечной упорядоченной совокупности действительных чисел.

-мерным вектором назовём упорядоченную совокупность действительных чисел , а числа - координатами вектора.

Введённое таким образом обобщённое понятие вектора позволяет рассматривать векторы не обязательно геометрической природы. Если, например, для производства некоторого изделия используется ресурсов, то вектор указывает, сколько и какого вида ресурсы используются.

Естественным образом на - мерные векторы обобщаются линейные операции над векторами. Пусть и , тогда

Поскольку рассмотренные операции над векторами сводятся к операциями над их координатами (они являются действительными числами), легко проверить выполнимость следующих законов, справедливых для действительных чисел:

1.	(коммутативность сложения);
2.	(ассоциативность сложения);
3.	(ассоциативность умножения на число);
4.	(дистрибутивность сложения векторов);
5.	(дистрибутивность сложения чисел);
6.	(существование нулевого вектора)
7.	(существование противоположного вектора);
8.	(существование единицы при умножении на скаляр)

Совокупность всех -мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения и умножения на число, подчиняющимися законам 1-8, называется -мерным векторным пространством и обозначается ℝⁿ.

Скалярным произведением двух -мерных векторов и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

. (5)

Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя.

(6)

Общая формула угла между двумя векторами на случай -мерного пространства

(7)

Распространяя понятие расстояние между двумя точками и на случай -мерного пространства, длину вектора будем вычислять по формуле

. (8)