§5. Дополнения по матрицам.

1. Матрицей размерности называется прямоугольная таблица чисел

Числа, из которых составлена матрица , где - номер строки, - номер столбца, называются элементами матрицы. Равными называются матрицыи одинаковой размерности, если они совпадают поэлементно, то есть для любых .

Если , то квадратная таблица называется квадратной матрицей порядка .

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ. Вторая диагональ называется побочной.

Диагональной называется матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Матрица, полученная из данной заменой строк столбцами с теми же номерами называется матрицей, транспонированной к данной и обозначается . При транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

1.	3.
2. R	4.

Назовём матрицу произвольных размеров трапециевидной, если она имеет вид:

где отличны от нуля.

2. Многочлены от матриц.

Пусть - произвольная квадратичная матрица -го порядка, - натуральное число. Тогда -ой степенью матрицы называется произведение матриц, каждая из которых равна

Нулевой степенью квадратичной матрицы называется единичная матрица: . Первой степенью матрицы называется сама матрица: .

Многочленом степени от квадратичной матрицы называется выражение вида

, где - числа.

Пример. Найти значение , если .

Решение.

3. Теорема Лапласа. Сумма произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения не зависит от номера строки (столбца) и равна этому определителю,

то есть .

Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.

Теорема Лапласа позволяет свести вычисление определителя n -го порядка к вычислению n определителей порядка . Если в строке (столбце) имеются равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки (столбца), которая содержит наибольшее число нулей. Используя свойства определителя, можно преобразовать определитель так, чтоб все элементы некоторой строки (столбца), кроме, может быть одного, равнялись нулю. Таким образом, вычисление определителя -го порядка, если он отличен от нуля, сводится к вычислению одного определителя ()-го порядка.

§ 6. Обратная матрица. Решение матричных уравнений.

Пусть А – квадратная матрица порядка . Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если выполнены равенства: АА^-1=А^-1А=Е, где Е - единичная матрица порядка .

Утверждение 1. Если для А существует обратная, то она единственная.

Доказательство: Предположим противное. То есть пусть у матрицы А существует две различные обратные (А₁^-1¹А₂^-1). Тогда из определения обратной матрицы будем иметь:

А₁^-1=А₁^-1E= А₁^-1(A А₂^-1)=(А₁^-1A) А₂^-1=E А₂^-1= А₂^-1.

Получили противоречие с предположением Значит, если обратная матрица существует, то она единственна.

Квадратичная матрица А называется невырожденной, если её определитель |А|¹0. В противном случае матрица А – вырожденная.

Утверждение 2. Для матрицы А существует обратная тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

Доказательство: Пусть для А существует А^-1 , тогда выполнены равенства

AA^-1=A^-1A=E.

Воспользуемся свойством 8 определителя (определитель произведения двух матриц равен произведению определителей). |АА^-1|=|А||А^-1|=|Е|=1. Так как определитель – это число, то матрицы А и А^-1 невырождены, значит, .

Покажем, что всякая невырожденная матрица имеет обратную. Рассуждения проведем для матрицы 3-го порядка. Пусть , причем Рассмотрим присоединенную матрицу, состоящую из из алгебраических дополнений к транспонированной матрице. Найдем произведение матриц А и :

=,

то есть Здесь мы исрользовали теорему Лапласа и теорему аннулирования. Аналогично получается, что Тогда полученные равенства можно переписать в виде и . Согласно определению обратной матрицы, получаем формулу или . (1)

Свойства обратных матриц:

1. (А^-1)^-1=А,

2. (АВ)^-1=B^-1A^-1,

3. (Aⁿ)^-1=(A^-1)ⁿ,

4. (A^-1)^T=(A^T)^-1;