Элементы линейной алгебры

§1. Геометрическое толкование вектора

Вектором назовём направленный отрезок с началом в точке и концом в точке . Таким образом определённый вектор ещё называют связанным.

Длиной вектора или модулем называется длина соответствующего направленного отрезка и обозначается .

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается . Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом и обозначается .

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены (сонаправлены) или противоположно направлены. Нулевой вектор имеет произвольное направление. Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и сонаправлены. Значит, если вектор перенести параллельно самому себе, не меняя направления, то получим вектор, равный данному. Таким образом, свободным вектором (или параллельным переносом) называется совокупность равных между собой векторов. Свободный вектор задаётся одним из векторов, входящих в данную совокупность равных между собой векторов.

Углом между векторами, будем называть наименьший угол, отсчитываемый против часовой стрелки на который надо повернуть один вектор, чтобы его направление совпадало с направлением второго, при условии, что оба вектора исходят из общего начала. В этом случае вводится обозначение, где . Если , то векторы называются ортогональными.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножение вектора на число.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление, которого совпадает с направлением , если , и противоположно ему, если .

Противоположным вектором называется произведение вектора на число .

Геометрически сумму двух векторов можно построить, пользуясь правилом треугольника либо правилом параллелограмма.

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и , противоположного .

§2. Алгебраическое описание вектора

Для алгебраического описания векторов их связывают с некоторой системой координат. Рассмотрим трёхмерное пространство. Существует взаимно однозначное соответствие между точками трёхмерного пространства в заданной декартовой системе координат и упорядоченными тройками действительных чисел , называемых координатами.

Рассмотрим вектор, начало которого совпадает с началом заданной системы координат, и тогда его конец определит единственную точку , и наоборот, задав точку , мы тем самым определим вектор с началом в начале координат (рис.16).

Координатами вектора называют числа, являющиеся координатами его конца. Длина вектора находится по формуле: (1)

Существует взаимно однозначное соответствие между точками трёхмерного пространства и всеми векторами, исходящими из начала координат, следовательно, можно полностью отвлечься от геометрического смысла векторов и иметь дело лишь с координатами.

Расстояние между точками и равно длине вектора

, где .Чтобы найти координаты вектора , нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала .