Билеті №3

Жуықтап алынған сандардың салыстырмалы қателігі.

Анықтама Жуықталған санының салыстырмалы қателігі деп

осы санның абсолют қателігінің сәйкес дәл А

санының модулына қатынасын айтады.

Оны былай белгілейді:

(2.7)

Анықтама. Жуықталған санының шекті салыстрмалы қателігі

деп салыстырмалы қателіктен кем емес санын

айтады, яғни

(2.8)

Егер (2.7) ескерсек, онда (2.8) келесі түрде жазуға болады:

(2.9)

Демек, егер (2.3) пен (2.9) салыстырсақ, онда санының шекті абсолют қателігі етіп келесі теңдікті жазуға болады:

(2.10)

Егер етіп қабылдасақ, онда (2.10) формуласын былай жазуға болады:

(2.11)

Егер (2.11) теңдікті пайдалансақ, онда (2.5) теңсіздік келесі түрде түрленеді:

немесе

(2.12)

Егер шекті салыстырмалы қателік берілсе, онда (2.10) формула бойынша шекті абсолют қателікті анықтауға болады.

Жуықтап алынған вектордың абсолюттік қателігі.

Жуықталған санының шекті абсолют қателігі деп осы санының абсолют қателігінен аз болмайтын санды айтады, яғни

(2.3)

Ол сан бірмәнді (не однозначно) анықталмайды: оны өсіруге болады.

Сонда (2.3)-ден алатынымыз:

(2.4)

Демек

, (2.5)

Яғни кемімен алған А санының жуықталған мәні, ал – А санының артығымен алынған жуық мәні. (2.5) формуланы қысқаша былай жазуға болады:

(2.6)

Практикада шаманың дәлдігін түсіну кезінде шекті абсолют қателігін пайдаланады. Мысалы, егер екі пунктің S=900 м тен арақашықтық 0,5 м дәлдікпен алынса, онда S шаманың дәл мәні

899,5 м < S < 900,5 м

шекаралықты алынатын болады.

Әдетте абсолют қателік ( ) екі-үш маңызды (значащие) таңбалы санмен жазады, ал маңызды таңбаларды санау кезінде сол жақтағы нольдер саналмайтынын естен шығармау керек. Мысалы: 0,004060 санында 4 маңызды таңба бар.

Билеті №4 Функция мәндерін есептеудегі қателіктер

1) Бір айнымалы функциялар. Аргументтің жеткілікті аз қателігінен пайда болған дифференциялданатын функциясының абсолют қателігі

(3.1)

шамасымен бағаланады.

Егер функциясының мәндері оң болса, онда салыстырмалы қателік үшін келесі бағалау орынды:

(3.2)

Дербес жағдайда негізгі элементар функциялар үшін келесідей ережелерді аламыз:

а) дәрежелі функциясы. Дәрежелі функцияның абсолют қателігі былайша анықталады:

(3.3)

Дәрежелі функцияның салыстырмалы қателігі:

(3.4)

б) көрсеткішті функциясы. Көрсеткішті функцияның абсолют қателігі:

(3.5)

Ал салыстырмалы қателігі:

(3.6)

Дербес жағдайда функциясыүшін

(3.7)

екеніне көз жеткіземіз.

в) логорифмдік функциясы. Санның натурал логарифмнің абсолют қателігі санның өзінің салыстырмалы қателігіне тең:

(3.8)

г) Тригонометриялық функциялар. Синус пен косинустың абсолют қателіктері аргументтің абсолют қателіктерінен аспайды:

, (3.9)

Тангенс пен котангенстің абсолют қателіктері барлық уақытта аргументтің қателігінен үлкен:

, (3.10)

2) Көп айнымалы функциялар. Аогументтердің жеткілікті аз қателіктері диференциялданатын функциясы үшін келесідегі абсолют қателікке әкеледі:

(3.11)

Егер функция мәндері оң болса, онда оның салыстырмалы қателігін былайша бағалауға болады:

Мысал: функциясының мәнін есептеңіз:

Шешімі: Аргументтердің салыстырмалы қателіктері:

, ,

Функцияның салыстырмалы қателігі:

функция мәні екі-үш таңбадан артық есептемеу керек:

Тең жартыға бөлу әдісі . Есептің қойылыуы

Есептің қойылыуы. Теңдеудің түбірін табу математикалық мәселесі ғылым мен техниканың әртүрлі салаларында жиі кездеседі. Бізге келесі теңдеулердің түбірлерін табу керек болсын:

(4.1)

немесе (4.2)

мұндағы және - кейбір аралығында анықталған, үзіліссіз және дифференциялданатын функциялар.

Бұл теңдеулерді

(4.1а)

(4.2а)

түріндегі тепе-теңдікке айналдыратын саны теңдеудің түбірі немесе теңдеудің шешімі деп аталады. Егер кезінде функциясымен бірге оның -ші ретке дейінгі туындыларының барлығы нольге тең болса, онда мұндай саны k еселі түбір деп аталады:

Бір еселі түбір жай деп аталады. Егер (4.1) теңдеудің сол жағы тек ғана алгебралық функциялар (бүтін, рационал, ироционал) болса, онда (4.1) теңдеу алгебралық деп аталады.

Мысалы: - бүтін алгебралық функция.

Ал егер (4.1) теңдеудің сол жағы алгебралық функция болмаса (логорифмдік, көрсеткіштік, тригонометриялық және т.б), онда ол трансценденттік деп аталады.

Мысалы: т.б.

Сызықты емес теңдеулерді шешудің тура және итерациялық әдістері бар. Теңдеуді шешудің тура әдістері оның шешімін белгілі бір текті қатынастар (формулалар) арқылы өрнектейді. Мысалы, алгебра курсынан тригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік, алгебралық екінші дәрежелі толымсыз үшінші дәрежелі биквадрат теңдеулерінің түбірлерінің формулалары белгілі. Әрине, практикада кездесетін теңдеулерді мұндай қарапайым әдістермен шеше беруге мүмкін бола бермейді. Сондықтан қандай да бір сандық әдісті пайдалану қажеттілігі туады: (4.1) немесе (4.2) теңдеуінің [а;b] аралығында берілген  дәлдікпен барлық нақты түбірлерін табу керек. Мұндай кезде теңдеудің түбірлерін табу үшін негізінен екі: бөліктеу (айыру) және дәлелдеу кезеңінен тұратын итерациялық немесе біртіндеп жуықтау әдістерін қолданамыз.