§1. Принцип Паули и застройка электронных оболочек. Периодическая система элементов

Квантовомеханическое описание атома с двумя электронами (Не) уже представляет значительные математические трудности. Решение же уравнения Шредингера для многоэлектронного атома практически невозможно. Однако, с помощью общих принципов квантовой теории и изложенной выше теории одноэлектронного атома удается найти распределение электронов по энергетическим уровням.

Дело в том, что в многоэлектронном атоме электроны не находятся на одном нижнем энергетическом уровне (даже когда атом находится в основном состоянии) – об этом свидетельствует различие химических свойств элементов. На вопрос, как они распределены по энергетическим уровням, отвечает постулат квантовой теории, называемый принципом Паули или принципом запрета (сформулирован В.Паули в 1925 году). В наиболее общей форме он гласит:

В системе одинаковых фермионов в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы.

Заметим, прежде всего, что речь идет только о фермионах; бозоны не подчиняются принципу Паули. Кроме того, понятие квантового состояния шире понятия «энергетический уровень». Квантовое состояние электрона в атоме характеризуется -функцией.

-функция, в свою очередь, зависит от трех пространственных координат и одной внутренней спиновой переменной, поэтому собственные функции электрона будут характеризоваться набором четырех квантовых чисел, например, n, l, m и . (Вообще говоря, возможен и другой набор).

Т.о. квантовое состояние электрона в атоме можно описать, задавая четыре квантовых числа. Поэтому принцип Паули применительно к электронам одного и того же атома можно сформулировать так:

В атоме не может быть двух электронов с четырьмя одинаковыми квантовыми числами. (Хотя бы одно число должно быть разным).

На этой основе можно произвести застройку квантовых состояний в многоэлектронном атоме. Но сделаем предварительно несколько замечаний.

Назовем электронной оболочкой совокупность электронов с одинаковым главным квантовым числом n, подоболочкой – совокупность электронов с одинаковым азимутальным квантовым числом l.

Максимально возможное число электронов в подоболочке будет 2(2l + 1) – они отличаются магнитным квантовым числом и ориентацией спина.

Максимально возможное число электронов в оболочке будет равно

(76)

Перенумеруем подоболочки в порядке возрастания l буквами s, p, d, f , а оболочки либо цифрами 1, 2, 3,  (значениями главного квантового числа) либо буквами K, L, M, N, O, P, Тогда квантовое состояние электронов незаполненной оболочки запишется, например, в виде 3d⁷: n = 3, l = 2, и в этом состоянии находится 7 электронов с разными m и .

Вот теперь, во всеоружии, мы можем записать квантовое состояние любого многоэлектронного атома. Начнем с простых: H 1s¹, He 1s², Li 1s²2s¹, Be 1s²2s², B 1s²2s²p¹, C 1s²2s²p² и т.д. до аргона (Z=18): Ar 1s²2s²p⁶3s²p⁶.

Можно заметить, что, например, у Н, Li, Na,  самые далекие от ядра, внешние электроны находятся в похожих квантовых состояниях, поэтому химические свойства этих атомов одинаковы. А, например, атомы с заполненными р-состояниями принадлежат инертным газам и т.п. Т.о. мы приходим к периодичности в химических свойствах атомов, которая в свое время позволила Д.И.Менделееву построить периодическую систему элементов.

Следует также заметить, что, начиная с 19-го элемента – калия- появляются непонятные на первый взгляд неправильности в заполнении квантовых состояний электронами: у калия последний электрон находится в состоянии 4s, а не 3d.

Все очень просто: оказывается, энергия электронов в многоэлектронных атомах (в отличие от одноэлектронного) зависит не только от n, но и от l (и даже слабо от m и ). Поэтому уровень 3d лежит выше чем 4s.

Аналогичная ситуация возникает при заполнении f-подоболочек (14 состояний), в результате чего возникают два семейства элементов с одинаковыми внешними электронами, т.е. с одинаковыми химическими свойствами, но не полностью заполненными внутренними электронами (f-состояния). Эти два семейства состоят каждое из 14 элементов и называются соответственно лантанидами и актинидами.

Не останавливаясь детально на других тонкостях, отметим одно важное обстоятельство: момент импульса заполненной подоболочки равен нулю, так как равны нулю и орбитальный,и спиновой моменты.

Краткие выводы

Состояние электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами, одним из которых является спиновое квантовое число.

Спин – это собственный (внутренний) момент импульса электрона (или другой элементарной частицы), имеющий квантовую релятивистскую природу.

Система тождественных фермионов подчиняется принципу Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы.