лекции по физике, 4 семестр / физика лекция. 23.04

Кафедра физики

Лекции по физике (2 курс)

Тула 2020

Лекция 23.04.2020 г.

Уравнение Шредингера

Нестационарное уравнение Шредингера

Состояние свободной микрочастицы, движущейся вдоль оси х с определенным значением энергии Е и импульса р, описывается плоской волной де Бройля (4.16). Вычисляя производные от функции (4.16), находим:

. (4.21)

Любое другое состояние частицы можно в соответствии с принципом квантовой суперпозиции (4.5) или (4.9) представить в виде суммы состояний со всеми разрешенными импульсами:

(в случае дискретного спектра), (4.22)

(в случае непрерывного спектра). (4.23)

Но уравнение квантовой теории, позволяющее найти волновую функцию, должно иметь одинаковую форму для любых состояний (4.21) – (4.23). Если полная энергия Е нерелятивистской частицы определена, то она будет суммой потенциальной энергии и кинетической энергии :

. (4.24)

Подставляя соотношения (4.21) в формулу (4.24), приходим к дифференциальному уравнению

. (4.25)

Оно называется нестационарным уравнением Шредингера и было предложено Э.Шредингером в 1927 г. для описания волновых свойств микрочастиц.

Реальная частица движется в трехмерном пространстве, и для ее описания надо использовать волны де Бройля (4.17). Тогда , где – дифференциальный оператор Лапласа, и после подстановки в (4.24) получим нестационарное уравнение Шредингера в виде:

. (4.26)

Это уравнение комплексно. Его решение, т.е. волновая функция , описывающая поведение микрочастицы с массой m во внешнем поле, также может быть комплексной. Для решения дифференциальных уравнений (4.26) или (4.25) необходимо задать начальное и граничные условия для функции .

Решив нестационарное уравнение Шредингера, можно найти зависимость волновой функции от времени, т.е. определить эволюцию квантовой системы со временем.

Стационарное уравнение Шредингера

Часто встречаются системы, в которых частица находится в состоянии с определенной энергией (например – электрон в атоме и т.п.). Такие состояния называются стационарными. В случае стационарных состояний уравнение (4.26) допускает разделение переменных:

. (4.30)

Подставляя (4.30) в уравнение (4.26) и разделив обе части на произведение , получим:

(4.31)

Левая и правая части уравнения (4.31) являются независимыми функциями разных переменных t и . Они равны между собой только тогда, когда равны некоторой константе, которую легко определить, подставив связь (4.30) в первое из соотношений (4.21):

, откуда и . (4.32)

Из формул (4.30) – (4.32) следует, что в стационарном состоянии с определенным значением энергии зависимость волновой функции микрочастицы от времени учитывается экспоненциальным множителем:

. (4.33)

Плотность вероятности обнаружения частицы в стационарном состоянии, как следует из (4.33), не зависит от времени:

.

Волновая функция , зависящая только от координат, является решением стационарного уравнения Шредингера.

. (4.34)

В случае одномерного движения вдоль оси х стационарное уравнение Шредингера приобретает вид:

. (4.35)

Поле , в котором находится частица, считается известным. Уравнение Шредингера (4.34) или (4.35) позволяет найти и волновую функцию частицы в заданном поле, и все разрешенные значения ее полной энергии Е. Для этого при решении дифференциального уравнения Шредингера обязательно надо задать граничные условия для функции или для плотности вероятности обнаружения частицы . И вероятность , и волновая функция должны меняться плавно, без скачков.

!!!!! Примеры решения задач можно посмотреть на сайте кафедры физики www.physics.tsu.ru в разделе "Самостоятельная работа студентов" п. 4.13 "Оптика. Основы квантовой физики. Руководство к проведению самостоятельной работы студентов" (авторы: Ю.Н. Колмаков и др.), стр. 50-58.