Тема 2.2 Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства
Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
Тригонометрические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Простейшие тригонометрические уравнения.
любое
целое число;
любое
целое число;
любое
целое число;
здесь
нет решений;
-
любое целое число.
любое
целое число;
любое
целое число;
любое
целое число;
здесь
нет решений
-
любое целое число.
– любое
целое число;
-
любое целое число.
-
любое целое число;
-
любое целое число.
Методы решения тригонометрических уравнений
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры ( метод замены переменной и подстановки ).
Пример.
Решить
уравнение:
Решение.
Используя формулы приведения, имеем:
Делаем замену:
тогда
Находим корни:
откуда следует два случая:
1)
2)
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
Пример.
Решить уравнение:
.
Решение.
Перенесём все члены уравнения влево:
,
преобразуем
и разложим на множители выражение в
левой части уравнения: 
1)
2)
Пример.
Решить уравнение:
.
Решение.
,
2)
Пример.
Решить уравнение:
Решение.
,
,
,
3.
Приведение к однородному
уравнению. Уравнение называется
однородным
относительно
и 
, если все
его члены одной и той же
степени относительно
и
одного и того
же угла.
Чтобы решить
однородное
уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на ( или ) в старшей степени;
д)
решить полученное алгебраическое
уравнение относительно
.
Пример.
Решить уравнение:
.
Решение.
, отсюда
,
корни
этого уравнения:
отсюда
1)
2)
.
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
Пример.
Решить уравнение:
.
Решение.
. . . . . . . . . .
5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:
Где
–
коэффициенты;
–
неизвестное. Разделим обе части этого
уравнения на
:
.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а
именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них
не больше 1, а
сумма их квадратов равна 1. Тогда
можно обозначить их
соответственно как
и 
(здесь
-
так называемый вспомогательный
угол ), и наше
уравнение принимает вид:
или
и его решение:
,
где
.
Заметим, что введенные обозначения
и
взаимно заменяемы.
Пример.
Решить уравнение:
.
Решение.
Здесь
,
поэтому делим обе части на
,
отсюда
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
Пример. Решить
уравнение:
.
Решение. Преобразуем левую часть в сумму:
Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
Пример. Решить
уравнение:
Решение. Здесь возможны два случая:
1)
,
тогда
,
.
Делаем
замену:
,
тогда
,
корни этого уравнения:
:
а)
б)
2)
,
тогда
.
Таким образом, решение даёт только первый случай
Тригонометрические неравенства
При решении тригонометрических неравенств мы используем свойства неравенств, известные из алгебры, а также различные тригонометрические преобразования и формулы. Использование единичного круга при решении тригонометрических неравенств почти необходимо. Рассмотрим ряд примеров.
Пример.
Решить неравенство:
.
Решение.
В пределах одного оборота единичного
радиуса это неравенство справедливо
при
.
Теперь необходимо добавить период
синуса
,
то есть
.
Пример.
Решить неравенство: 
.
Решение.
