Тема 1.3 Многочлены
Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера. Теорема Безу. Число корней многочлена. Многочлены от двух переменных. Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.
Многочленом
от переменной
будем называть выражение вида
,
где
– натуральное число;
– любые числа, называемые коэффициентами
этого многочлена. Выражения
называются членами многочлена,
– свободным членом.
Часто
будем употреблять и такие термины:
- коэффициент при
,
– коэффициент при
и т.д.
Примерами
многочленов являются следующие выражения:
.
Здесь для первого многочлена коэффициентами
являются числа 0, 2, – 3, 3/7; при этом,
например, число 2 – коэффициент при
,
а 0 – свободный член.
Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым.
Так,
например, многочлен
– нулевой.
Из записи многочлена видно, что он состоит из нескольких членов. Отсюда и произошел термин ‹‹многочлен›› (много членов). Иногда многочлен называют полиномом.
Многочлен
от одной переменной
будем обозначать так:
и т.д. например, если первый приведённых
выше многочленов обозначить
,
то можно записать:
.
Для того чтобы запись многочлена выглядела проще и выглядела компактнее, договорились о ряде условностей.
Те
члены не нулевого многочлена, у
коэффициенты равны нулю, не записывают.
Например, вместо
пишут:
;
вместо
.
Таким образом, каждое число – это тоже
многочлен. Многочлен
,
у которого все коэффициенты равны нулю,
т.е. нулевой многочлен, записывают так:
.
Деление многочленов с остатком.
Многочлен
можно
разделить на многочлен
с
остатком. Под этим понимают, что
можно представить в таком виде:
,
где степень остатка
строго меньше степени делителя
(или остаток равен нулю). Возможность
такого представления следует из алгоритма
«деления углом», который аналогичен
делению целых чисел «столбиком».
Покажем
этот алгоритм на примере:
Нахождение корней многочлена – интересная и достаточно трудная задача, решение которой выходит за границы школьного курса математики. Однако для многочленов с целыми коэффициентами есть простой переборный алгоритм, позволяющий находить все рациональные корни.
Теорема.
Если многочлен с целыми коэффициентами
имеет рациональный корень
(
- несократимая
дробь), то числитель дроби является
делителем свободного члена, а знаменатель
– делителем старшего коэффициента
этого многочлена.
Теорема
Безу. Остаток
от деления многочлена
на
линейный двучлен
равен
значению многочлена в точке а,
т. е. числу
.
Следствие.
Для того чтобы многочлен
делился на двучлен
,
необходимо и достаточно, чтобы
,
т. е. чтобы а было
корнем многочлена
.
Схема Горнера.
Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда частное равно двучлену .
Построим этот алгоритм.
Пусть
– делимое,
– частное
(его степень, очевидно, будет на
1
меньше),
– остаток (так как деление осуществляется
на многочлен
1 –ой
степени, то
степень остатка будет на
1
меньше, то
есть нулевая, значит, остаток – константа).
По
определению деления с остатком
.
После подстановки выражений многочленов
получим:
.