Тема 1.5. Логарифм

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.

Определение. Логарифмом числа   по основанию  называют такую степень, в которую надо возвести число  , чтобы получить число  .

Другими словами, логарифм числа   по основанию   – это такое число  , которое является решением уравнения .

Для логарифма числа   по основанию   используется обозначение: .

Таким образом, для всех действительных чисел  и  , справедливо равенство , которое часто называют основным логарифмическим тождеством.

При это уравнение не имеет решения, а при любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном  ; кроме того, значение показательной функции  всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного . Окончательно получаем: вещественный логарифм  имеет смысл при .

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

• Натуральные:  , основание: число Эйлера .

• Десятичные:, основание: число .

• Двоичные:, основание: .

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество:

.

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если , то , откуда, согласно основному тождеству:.

Логарифмы единицы и числа, равного основанию

Два равенства, очевидных из определения логарифма:

.

Существует формулы на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

;

.

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

Замена основания логарифма

Логарифм по основанию  можно преобразовать в логарифм по другому основанию :

.

Следствие (при ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

.

Логарифмическая функция обратна к показательной.

Тема 1.6. Преобразования простейших выражений

Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

Операции сложения и умножения действительных (а значит, в том числе и натуральных, и целых) чисел обладают следующими свойствами:

1.  (переместительный закон сложения).

2. (сочетательный закон сложения).

3. (переместительный закон умножения).

4. (сочетательный закон умножения).

5. (распределительный закон умножения относительно сложения).

Переместительные законы также называются также коммутативными. Их смысл в том, что результат не меняется при перестановке слагаемых или сомножителей.

Переместительный (коммутативный) закон сложения: . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Переместительный (коммутативный) закон умножения: . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Сочетательные законы также называют ассоциативными. Их смысл в том, что результат не меняется при группировке слагаемых или сомножителей.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

Распределительные законы также называют дистрибутивными. Их смысл для операции произведения заключается в том, что операцию произведения можно выполнить по частям – для каждого слагаемого, входящего во второй сомножитель.

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: .

Также существует распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания: .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример. Упростите выражение

.

Решение.

Пример. Вычислить при , .

Решение. . Подставляем , , получим .

Ответ. 1.

Пример. Упростить выражение и вычислить его значение при и .

Решение.  . При и значение данного выражения равно .

Ответ. 3.

Пример. Найти значение выражения при и .

Решение. , подставляем в данное выражение:

Ответ. 1.

Пример. Вычислить , если .

Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифм произведения:

Ответ. .

Пример. Вычислить .

Решение. Преобразуем данное выражение, используя свойство суммы логарифмов и определение натурального логарифма:

Ответ.