Раздел 2. Тригонометрия

Тема 2.1. Тригонометрические функции и преобразования тригонометрических выражений

Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

Введем понятие единичной окружности.

Определение. Окружность с центром в начале координат и радиусом равным единице называется единичной.

За начало отсчета возьмем точку с координатами (1;0). Поворот против часовой стрелки будем считать положительным, а по часовой стрелке отрицательным. Повернемся на радиан, данной точке как любой точке на плоскости соответствуют две координаты. Координата по оси OX- абсцисса, ее мы назовем косинусом числа . Обозначается . Координата по оси OY – ордината, ее мы назовем синусом числа . Обозначается sin .

Определение. Синусом числа называется ордината точки единичной окружности, полученной поворотом на радиан.

Определение. Косинусом числа называется абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом на радиан.

Определение. Тангенсом числа называется отношение синуса к косинусу. = ,

Определение. Котангенсом числа называется отношение косинуса к синусу. = , sin

Нужно отметить, что Тангенс и котангенс могут принимать любые значения.

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения косинуса и синуса на окружности.

sin	0				1	0	-	0
cos	1				0		0	1
tg	0		1			0		0
ctg			1		0		0

1)

Рассмотрим ОАВ, он прямоугольный, угол АОВ= .

Из курса геометрии нам известно, что катет, лежащий против угла в равен половине гипотенузы. Т.к. окружность единичная, то ОА=1, значит АВ= . Но АВ равняется ординате точки , значит sin = .

Воспользуемся теоремой Пифагора. ОВ² =ОА² – АВ²=1²– =1– =

. ОВ = . Т. к. ОВ= , значит .

Воспользуемся определением тангенса

= : = .

По определению котангенса

Задание. Самостоятельно найти значение тригонометрических функций для

Существует таблица значений тригонометрических функций, которой можно пользоваться для решения примеров.

Тригонометрические тождества.

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

.

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Если это уравнение поделить на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее: и

Из определений тангенса и котангенса имеем, что .

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

Здесь  – любая тригонометрическая функция,  – соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n – целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

.

Правила преобразования:

1) Если аргумент содержит где – нечетное натуральное число , то функция меняется на «конфункцию», т.е. синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Если  – четное натуральное число , то название функции не изменяется.

2) Определяем знак («+» или «–») значения первоначальной функции. Преобразованное выражение сохраняет знак своего родителя.

Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

Формулы половинного угла:

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

Суммы

Обратные тригонометрические функции и их свойства. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Функция

1. 

2. 

3. 

4. функция нечетная, то есть

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. при ;

9. при .

Функция 

1. ;

2. 

4. функция ни четная, ни нечетная, причем 

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. при .

Функция 

1. 

2. 

3. 

4. функция нечетная, то есть 

5. при ;

6. при ;

7. при ;

8. график функции имеет 2 асимптоты:

Функция 

2. 

4. функция ни четная, ни нечетная, причем 

5. ни при каких ;

6. при ;

7. график функции имеет 2 асимптоты: