Тема 7.5. Объемы тел и площади их поверхностей

Понятие об объеме тела. Отношение объемов подобных тел.

Формулы объема куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Объем тела – это положительная величина той части пространства , которую занимает геометрическое тело.

Объемы равных тел равны.  

Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.  

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Правило. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания и высоты

, где  – площадь боковой поверхности;

– периметр основания призмы (многоугольника, лежащего в основании);  – высота призмы (для прямоугольной — это длина бокового ребра призмы).

Правило. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на длины бокового ребра

,

где – объем призмы;

– площадь основания призмы (многоугольника, лежащего в основании призмы);

 – длина бокового ребра призмы.

О бъем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

,

где   - объем куба,   – длина грани куба.

Объем призмы

О бъем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

,

где  – объем призмы, 

 – площадь основания призмы, 

 – высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ф ормула объема параллелепипеда

, где – объем параллелепипеда, 

– площадь основания, 

 – длина высоты.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его д лины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

,

где   – объем прямоугольного параллелепипеда, 

 – длина,   – ширина,  – высота.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Ф ормулы объема цилиндра

,

, где  – объем цилиндра,

 – площадь основания цилиндра, 

 – радиус цилиндра, 

 – высота цилиндра, 

= 3.141592

Объем частей шара 

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Если  – радиус шара, перпендикулярный отсекающей плоскости, то точку  назовем в этом случае полюсом шара. Высотой шарового сегмента называется отрезок , соединяющий полюс шара с центром основания шарового сегмента.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Поэтому его объем является суммой объемов шарового сегмента   и конуса . Высота  шарового сегмента является также высотой и шарового сектора. Имеем 

,

где  – радиус конуса. Пусть  – полюса шара,  . Из прямоугольного треугольника  находим , следовательно, 

Объем шарового сектора

Площадь сферы

.

Объём шара, ограниченного сферой

.

Площадь сегмента сферы

,

где  – высота сегмента, а   – зенитный угол.

Тема 7.6. Координаты и векторы

Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости.

Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов и умножение вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам.

Прямоугольная (или  декартова) система координат в пространстве задается тройкой попарно перпендикулярных  координатных осей, имеющих общее начало в  точке   и одинаковый масштаб.  

Оси координат в пространстве обычно обозначают   (оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно).  

Орты осей  – это единичные  векторы  с началом в точке О; направления  ортов совпадают с направлением осей.  

Расстояние между двумя точками  и   в пространстве определяется с помощью теоремы Пифагора: . В частности, расстояние любой точки до начала координат равно .

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке . Согласно определению сферы расстояние любой ее точки от центра равно радиусу , т. е. . Но , где . Следовательно,

или .

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты лю­бой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы Ο₁ совпадает с началом координат, то уравнение сферы принимает вид .

Если же дано уравнение вида , то оно, вообще говоря, определяет в пространстве некоторую поверхность.