Формулы площади треугольника

1. Ф ормула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты:

.

2. Формула площади треугольника по трем сторонам 

Формула Герона:

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

.

Угол между хордой и касательной измеряется  половиной содержащейся в этом угле дуги  окружности:  

Угол с вершиной внутри окружности (угол  между двумя хордами):  

Угол с вершиной вне окружности (угол между двумя секущими):

Теорема (о касательной и секущей). Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Теорема (об отрезках хорды).

Пусть точка расположена внутри круга радиуса на расстоянии от его центра, - произвольная хорда, проходящая через . Тогда произведение постоянно и .

Иными словами, если через какую-то точку внутри круга провести две хорды, то произведение отрезков, на которые разделилась одна хорда, равно произведению отрезков для другой хорды.

Т еорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма. С умма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Свойство описанного четырехугольника: В о писанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны (рисунок).

Следствие: В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм – ромб.

  Свойство вписанного четырехугольника. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

Признак вписанного четырехугольника. Если сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около этого четырехугольника можно описать окружность (без доказательства).

Замечание: Признак вписанного четырехугольника можно переформулировать следующим образом: если суммы противоположных углов четырехугольника равны, то около него можно описать окружность.

Следствие: Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником.

Геометрическое место точек (сокращенно ГМТ), обладающих некоторым свойством,- это фигура, состоящая из всех точек, для которых выполнено это свойство.

Решение задачи на поиск ГМТ должно содержать доказательство того, что

а) точки, обладающие требуемым свойством, принадлежат фигуре F, являющейся ответом задачи;

б) все точки фигуры F обладают требуемым свойством.

Геометрические преобразования.

Геометрическое преобразование плоскости – взаимно-однозначное отображение этой плоскости на себя. Наиболее важными геометрическими преобразованиями являются движения, т.е. преобразования, сохраняющие расстояние. Иначе говоря, если  – движение плоскости, то для любых двух точек  этой плоскости расстояние между точками  и  равно .

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон треугольника соответственно в точках , то имеет место равенство .

Теорема Чевы. Пусть на сторонах треугольника или их продолжениях взяты соответственно точки . Прямые пересекаются в одной точке или п араллельны тогда и только тогда, когда .

Парабола – эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат координат имеет уравнение .

Указанная система координат называется канонической, уравнение – каноническим уравнением параболы.

Теорема. Парабола представляет собой множество точек, равноудаленных от данной прямой (директрисы параболы) и данной точки (фокуса параболы), не лежащей на директрисе.

Эллипс – это линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат координат имеет уравнение .

Указанная система координат называется канонической, уравнение – каноническим уравнением эллипса.

Гипербола – эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат координат имеет уравнение .

Указанная система координат называется канонической, уравнение – каноническим уравнением гиперболы.