Биссектриса

Биссектриса угла – это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

• Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.

• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.

• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

Решение треугольников

У треугольника общего вида имеется 6 основных характеристик: 3 линейные (длины сторон ) и 3 угловые . В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому будем считать, что хотя бы  одна из известных величин – линейная.

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Далее будем символически обозначать заданные величины (сторона) и (угол). Поскольку сочетание УУУ исключено из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов:

• Три стороны (ССС);

• Две стороны и угол между ними (СУС);

• Две стороны и угол не между ними (ССУ);

• Сторона и два прилежащих угла (УСУ);

• Сторона, противолежащий угол и один из прилежащих (УУС).

Основные теоремы

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников:

Теорема косинусов

Теорема синусов

Сумма углов треугольника

Теорема тангенсов (применяется редко)

.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка,  меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший – радиусу описанной окружности.

Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле: , здесь – медиана, проведенная к стороне – длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Высота треугольника  – это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение.  В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне , нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой: .

 Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам: .

Здесь  – длины сторон треугольника,   – площадь треугольника.

, где   – длина стороны треугольника,   – противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).