Факториал

(читается – факториал) представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно . Условились считать, что 0!=1!=1.

Размещения.

называются соединения, которые можно образовать из  элементов, собирая в каждое соединение по  элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.

Например, из 3 элементов по 2 можно образовать следующие размещения: .

Число всех возможных размещений, которые можно образовать из  элементов по , обозначается символом  и вычисляется по формуле:

(всего   множителей).

Пример: .

Сочетания.

Сочетаниями из   элементов по   называются соединения, которые можно образовать из   элементов, собирая в каждое соединение   элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов по 2 можно образовать следующие сочетания:  

Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом :

(В числителе и знаменателе по   множителей).

Пример: 

Полезные формулы: ;.

Формула бинома Ньютона

Если  -й член ( -е слагаемое) разложения степени бинома обозначать через , то .

Часто при решении комбинаторных задач используется биномиальная теорема (бином Ньютона).

Биномиальная теорема. Имеет место равенство

.

Подробнее данная формула расписывается следующим образом: . Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.

При n=1 имеем тривиальный случай

при n=2 и n=3 получаются формулы, хорошо знакомые из школьного курса математики: и .

Свойства биномиальных коэффициентов

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

Второе свойство позволяет описать процедуру последовательного получения числа сочетаний при различных значениях n и k.

Используя последнее свойство, можно представить число сочетаний в виде так называемого треугольника Паскаля.

Используя свойство 2, число сочетаний можно представить в виде треугольника Паскаля: , ,

, ,

, .

Тогда треугольник Паскаля имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

........................

Треугольник Паскаля обладает таким свойством, что каждый элемент строки, кроме крайних, равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке. В начале и в конце каждой строки стоят единицы.

Треугольник Паскаля, записанный с помощью чисел сочетаний, выглядит так:

 

   

     

…………………..

Треугольник Паскаля позволяет быстро найти значения биномиальных коэффициентов.

Случайные события и вероятности.

Будем называть испытанием (опытом, наблюдением, измерением) некоторую совокупность действий. Предполагается, в общем случае, что испытание можно повторить неограниченное число раз.

Событием (случайным событием) называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. События обозначаются буквами А, B, C, D, …

Вероятностью события называется численная мера возможности появления события в результате данного опыта. Вероятность события А обозначается Р(А).

Событие W, которое обязательно произойдет в результате опыта, называется достоверным: Р(W) = 1. Событие Æ, которое никогда не может произойти в результате опыта, называется невозможным: Р(Æ) = 0. Событие А, о котором нельзя заранее сказать произойдет оно или нет в результате опыта, называется случайным: .

Суммой событий называется событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий или (безразлично, какого именно, или обоих, если это возможно).

События и называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Два случайных события называются противоположными, если появление одного из них равносильно не появлению другого. Если одно из этих событий обозначить , то другое (противоположное) обозначают (читается «не »). Событие означает, что не произошло: .

Формула для вычисления вероятности суммы двух событий, все равно каких, совместных или нет, имеет вид: .

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Произведением двух событий называется событие, состоящее в том, что оба события произошли одновременно. Если появление каждого из событий не зависит от того, произошло или нет другое, то события называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: .

Если вероятность появления события изменяется в зависимости от того, произошло или нет событие , то такие события называются зависимыми. Вероятность события при условии, что событие уже произошло, обозначается . Вероятность произведения зависимых событий определяется формулой  .

Если события и несовместные, то .

Событие называется сложным, если появление его зависит от появления других, простых событий. Например, во время броска двух монет событие А – «выпал хотя бы один герб» – сложное событие, потому что оно состоит из таких событий:

А₁ – «выпал герб только на первой монете»;

А₂ – «выпал герб только на второй монете»;

А₃ – «выпал герб на двух монетах»;

То есть

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем другое. События    называются элементарными, если они образуют полную группу событий, несовместны (то есть никакие два из них не могут произойти одновременно) и равновозможны. Если некоторое событие происходит в результате появления одного из элементарных событий , то эти элементарные события называются благоприятствующими событию .