Раздел 4. Начала математического анализа

Тема 4.1. Понятие о пределах. Производная функции

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Длина окружности и площадь круга как пределы последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Теоремы о пределах последовательностей. Переход к пределам в неравенствах.

Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Понятие о пределе функции в точке. Поведение функций на бесконечности. Асимптоты.

Понятие о производной функции, физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производные сложной и обратной функций. Вторая производная. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Использование производных при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Вторая производная и ее физический смысл.

Предел функции. 

Число   называется пределом функции  при , стремящемся к   : если для любого  найдётся такое положительное число , зависящее от , что из условия следует  

Это определение означает, что L есть предел функции  , если значение функции неограниченно приближается к    , когда значение аргумента    приближается к  . Геометрически это значит, что для любого  можно найти такое число   , что если    находится в интервале , то значение функции лежит в интервале . Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается  к  , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

Пример.   Найти

Решение.  Подставляя   в выражение получим не имеющее смысла выражение . Поэтому решим по-другому:

Сокращение дроби в данном случае корректно, так как , он лишь

 приближается к 3.  Теперь мы имеем: поскольку, если стремится к  3, то   стремится к  6 .

Некоторые замечательные пределы. 

.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.

Пример.  Функция является бесконечно малой при , стремящимся к  4, так как .Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

.

Символ    («бесконечность») не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при , стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной (при ),  так и отрицательной (при  ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях  , это отражается в записи. Например, при      0 функция бесконечно большая, но она положительна как при   , так и при   ; это выражается так:

Наоборот, функция всегда отрицательна, поэтому

В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так:

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1), следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого ,  задается как функция целочисленного аргумента,  т.е. .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число  , такое, что при   выполняется неравенство Если число есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

, если

Пример.  Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …

Решение: нетрудно видеть, что

 и т.д.

Следовательно .

Пример. Найти общий член последовательности

Решение: не трудно видеть, что

 и т.д.

Следовательно: .